нeстандартые задачки по матике, нужна помощь в их решении Опции

[helpmeplease]

ПОМОГИТЕ ПЛИЗ С РЕШЕНИЕМ ХОТЯ БЫ НЕКОТОРЫХ ИЗ ЭТИХ ЗАДАЧ!!!зАРАНЕЕ ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!

1)Найдите 2 числа, сумма, произведение и частное которых равны.

2)Сколькими способами можно раскрасить 6 граней куба шестью красками так, чтобы по-разному раскрашенные кубики не переходили один в другой или при каком вращении?

3)Паук соединил связной паутиной все восемь ушлов комнаты 3x3x3.Может ли общая длина паутины быть меньше 19?

4)Разрежьте бумажный прямоугольник 1.5смх4см на две части, которыми можно оклеить куб со стороной 1 см.

5)Найдите закономерность и укажите пропущенный член последовательности:0;4;18;48; ? ; 180;... .(пропущенный член это ?)

6)На складе лежат 27 деталей, промаркированных первым и вторым сортом. Детали одинакового сорта весят одинаково, и каждая деталь второго сорта немного легче детали первого сорта, Известно что ровно одна из деталей промаркирована неправильно(но неизвестно какого она сорта), Покажите что ее можно наверняка выявить за три взвешивания на чашечных весах без гирь.

7) Вычислите максимальную площадь лежащего на координатной плоскости многоугольника, дающего в проекциях как на оси координат, так и на прямую у=х отрезки единичной длины.

8)Найдите пересечение двух тетраэдров, вписаных в куб(так что вершины одного тетраэдра-четыре вершины куба и вершины другого-оставшиеся 4 вершины куба, а ребра тетраэдров-диагонали граней куба). Какую часть объема куба составляет это пересечение тетраэлров?

9)Двое играющих по очереди проводят на плоскости несовпадающие красные или синие прямые(цвет каждый выбирает независимо от предыдущих ходов), никакие три из которых не должны проходить через одну точку. После того, как они проведут по 20 прямых, первый игрок подсчитывает количество точек, в которых пересекаются прямые разных цветов, а второй- количество точек, в которых пересекаются прямые одного цвета. Выигрывает тот, у кого окажется больше точек. Может ли один из игроков выиграть независимо от игры другого?

10) Квадратный ящик со стороной 2006 разбит на квадратные ячейки со стороной 1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре ячейки, образующие квадрат 2х2, и он покажет, имеется ли в ячейках радиоактивный шар. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар?

Сообщение отредактировано: lapp - 3.10.2006 9:09

[Michael_Rybak]

1)Найдите 2 числа, сумма, произведение и частное которых равны.

Запиши систему и покажи, что она не имеет решения.

2)Сколькими способами можно раскрасить 6 граней куба шестью красками так, чтобы по-разному раскрашенные кубики не переходили один в другой или при каком вращении?

Обозначим цвета числами от 1 до 6. Раскраска задается шестеркой ABCDEF, где А - число на передней грани, В - на левой и т. д. Всего возможных раскрасок - 6!. Чтобы посчитать, сколько раз повторяется каждая раскраска, рассмотри кубик с произвольной раскраской, например, ABCDEF, и посмотри, сколько других кубиков из него можно получить всевозможными вращениями. Поделив 6! на это число, получим ответ.

3)Паук соединил связной паутиной все восемь ушлов комнаты 3x3x3.Может ли общая длина паутины быть меньше 19?

Можно. Это одна из самых сложных здесь, и самых прикольных. Перед тем как я расскажу своё решение, попробуй придумать решение для квадрата:

Паук соединил связной паутиной все четыре угла квадрата 3x3.Может ли общая длина паутины быть меньше 8.2 ?

4)Разрежьте бумажный прямоугольник 1.5смх4см на две части, которыми можно оклеить куб со стороной 1 см.

5)Найдите закономерность и укажите пропущенный член последовательности:0;4;18; ? ; 180;... .(пропущенный член это ?)

Вообще похоже на 1*1*0 = 0, 2*2*1 = 4, 3*3*2 = 18, 4*4*3 = 36, 5*5*4=100, 6*6*5=180, но так получается 2 члена, а не 1. Если условие точно правильное, то:

http://www.research.att.com/~njas/sequence...glish&go=Search

О том, что такое trace и subtrace: http://www.theory.cs.uvic.ca/~cos/inf/neck/TSstringS4.html

[helpmeplease]

Найдите закономерность и укажите пропущенный член последовательности:0;4;18; ? ; 180;... .(пропущенный член это ?)
Вообще похоже на 1*1*0 = 0, 2*2*1 = 4, 3*3*2 = 18, 4*4*3 = 36, 5*5*4=100, 6*6*5=180, но так получается 2 члена, а не 1. Если условие точно правильное, то:

там кой-где в условии была ошибка я исправила! вот правильный вариант 0;4;18;48; ? ; 180;... .(пропущенный член это ?) там после 14 стоит 48 потом ? а потом 180!!!какая тут закономерность??плиз хелп

[helpmeplease]

Паук соединил связной паутиной все четыре угла квадрата 3x3.Может ли общая длина паутины быть меньше 8.2 ?

6*sqrt2=8.48- сумма длин диагоналей равна 8.48 но ,считаю что можно, так как паук соединил паутину которую он сплел в углах, так как она сплетена на некоторм расстоянии от вершин угла. я правильно мыслю?

[Michael_Rybak]

там кой-где в условии была ошибка я исправила! вот правильный вариант 0;4;18;48; ? ; 180;... .(пропущенный член это ?) там после 14 стоит 48 потом ? а потом 180!!!какая тут закономерность??плиз хелп

0 * 1 * 1 = 0
1 * 2 * 2 = 4
2 * 3 * 3 = 18
3 * 4 * 4 = 48
4 * 5 * 5 = 100
5 * 6 * 6 = 180

Я ведь так и написал сразу, просто ошибся, когда умножал 3*4*4.

6*sqrt2=8.48- сумма длин диагоналей равна 8.48 но ,считаю что можно, так как паук соединил паутину которую он сплел в углах, так как она сплетена на некоторм расстоянии от вершин угла. я правильно мыслю?

Нарисуй схему паутины, как ты ее себе представляешь, и выложи.

[helpmeplease]

Вот что я думаю по поводу задачи про паука: если рассмотреть вопрос соединения углов комнаты паутиной по диагонали в верхней и нижней плоскостях (квадраты АВСД и А1В1С1Д1) - т.е. отрезки АС, ВД, А1С1, В1Д1 (диагонали квадратов) и длины вертикального ребра. длина паутины = 4*sqrt(3^2 +3^2) + 3 = 4*sqrt(2*3^2) +3= 12*sqrt(2) + 3.
Так вот меня интересует, нужно ли в этой задаче учитывать паутину в углах, т.к. сигнальную паутину паук тянет от сети которую он сплел?
У меня больше нет никаких других решений задачи про паука-так что пожалуйста помогите!!!

[мисс_граффити]

хм...
а мы это изучали. по дискретке...
сети Штейнера.
могу методичку на мыло скинуть, если нужно.

[Lapp]

7) Вычислите максимальную площадь лежащего на координатной плоскости многоугольника, дающего в проекциях как на оси координат, так и на прямую у=х отрезки единичной длины.

Задача совсем простая. Две полосы широной 1, перпендикулярные осям, дают в пересечении квадрат со стороной 1. Третья единичная полоса, перпендикулярная прямой х=у, должна быть сцентрирована на центр этого квадрата.

В результате получается "конфетка", площадь которой вычислить несложно..

[Lapp]

Паук соединил связной паутиной все четыре угла квадрата 3x3.Может ли общая длина паутины быть меньше 8.2 ?

Хорошая задача, согласен

Так вот меня интересует, нужно ли в этой задаче учитывать паутину в углах, т.к. сигнальную паутину паук тянет от сети которую он сплел?

Не знаю, что ты подразумеваешь под сигнальной паутиной, но вообще забудь про паука. Просто нужно соединить все вершины квадрата (куба) так, чтобы из любой в любую можно было попасть по некоторому пути из этих линий, и чтоб суммарная длина этих линий была минимальная.

По поводу квадрата.
Как модератор и раздела Физика, хочу воззвать к вашей физической интуиции. Пленка мыльного пузыря, как известно, в целях "экономии" энергии стремится принять форму поверхности минимально возможной площади. Если рассмотреть пленку, натянутую на длинные спицы (в вершинах квадрата мы видим их проекции, выразившиеся в точки), то дальше, при наличии достаточного физического воображения, можно представить себе мысленный эксперимент...

Допустим, нам удалось придать мыльной пленке вот такую форму:

Ясно, что такой рисунок линий с точки зрения нашей задачи избыточен - одна из сторон внутреннего квадрата явно лишняя. Поэтому рвем одну из поверхностей:

Понятно, что после этого вся картинка изменится. Попробуйте, исходя из физического смысла, предугадать, что именно произойдет..
А если кому удастся - сделайте реальный эксперимент с мыльными пузырями!

[Lapp]

9)Двое играющих по очереди проводят на плоскости несовпадающие красные или синие прямые(цвет каждый выбирает независимо от предыдущих ходов), никакие три из которых не должны проходить через одну точку. После того, как они проведут по 20 прямых, первый игрок подсчитывает количество точек, в которых пересекаются прямые разных цветов, а второй- количество точек, в которых пересекаются прямые одного цвета. Выигрывает тот, у кого окажется больше точек. Может ли один из игроков выиграть независимо от игры другого?

У ходящего вторым (B) есть выигрышная стратегия. Вот она.

Ход 1а. Допустим, А рисует красную прямую.

Ход 1b. Игрок В тоже рисует красную прямую (то есть в общем случае прямую того же цвета), пересекающую нарисованную игроком А.

После этого на листе есть только одно пересечение, и оно одноцветное (то есть в пользу В).

Ход 2a. Теперь А рисует прямую L цвета Х (неважно, какого именно).

После этого на листе осталось первое пересечение и появились N одноцветных и M разноцветных.

Ход 2b. Игрок В рисует прямую цвета \X (не икс, до есть другого цвета), причем параллельно L.

После этого на листе добавляется N разноцветных пересечений и М одноцветных. То есть этот ход полностью нейтрализует предыдущий ход А.

Далее игрок В должен всякий раз рисовать прямую параллельную той, что нарисовал А перед этим. Это позволит ему нейтрализовать каждый ход противника. Учитывая, что после первого хода у В есть преимущество в одно пересечение, он ведет после каждого полного хода, а также и в конце игры.

[helpmeplease]

Задача совсем простая. Две полосы широной 1, перпендикулярные осям, дают в пересечении квадрат со стороной 1. Третья единичная полоса, перпендикулярная прямой х=у, должна быть сцентрирована на центр этого квадрата.

В результате получается "конфетка", площадь которой вычислить несложно..

у меня получчилось 8/9?? правильно??? если нет-то плиз напишите как вычислить ее площадь!

у меня получчилось 8/9?? правильно??? если нет-то плиз напишите как вычислить ее площадь!

Сообщение отредактировано: helpmeplease - 3.10.2006 18:52

[Clerick]

Задача совсем простая. Две полосы широной 1, перпендикулярные осям, дают в пересечении квадрат со стороной 1. Третья единичная полоса, перпендикулярная прямой х=у, должна быть сцентрирована на центр этого квадрата.

В результате получается "конфетка", площадь которой вычислить несложно..

Lapp, а ведь она необязательно должна быть отцентрирована по квадрату, по моему. Она же может проходить одним концом проходить через конец квадрата и площадь не измениться! Теперь искомая площадь это сумма площадей треугольника и трапеции. А если так действительно можно, то helpmeplease площадь получается не 8/9...

Сообщение отредактировано: Clerick - 3.10.2006 20:19

[helpmeplease]

Lapp, а ведь она необязательно должна быть отцентрирована по квадрату, по моему. Она же может проходить одним концом проходить через конец квадрата и площадь не измениться! Теперь искомая площадь это сумма площадей треугольника и трапеции. А если так действительно можно, то helpmeplease площадь получается не 8/9...

тогда скока получается? плиз хелп!мне завтра сдавать!.........

[Clerick]

тогда скока получается? плиз хелп!мне завтра сдавать!.........

Осталось только одна проблемка найти верхнее основание трапеции...

[hiv]

Задачка про "конфетку" - кайф
Проще надо быть в решении: берем квадрат со сторонами 1x1 и вычитаем площади отрезанных треугольников. Нетрудно посчитать их катеты = 1-sqrt(2)/2 sqrt-это корень. Т.к. они равны и вместе составляют квадрат, то из квадрата со стороной 1 вычитаем квадрат со строной, которую мы посчитали выше:
1^2-(1-sqrt(2)/2)^2 = корень из 2 минус 0,5 = 0,9142135623730950488016887242097
^-это возведение в степень.

[Clerick]

Задачка про "конфетку" - кайф
Проще надо быть в решении: берем квадрат со сторонами 1x1 и вычитаем площади отрезанных треугольников. Нетрудно посчитать их катеты = 1-sqrt(2)/2 sqrt-это корень. Т.к. они равны и вместе составляют квадрат, то из квадрата со стороной 1 вычитаем квадрат со строной, которую мы посчитали выше:
1^2-(1-sqrt(2)/2)^2 = корень из 2 минус 0,5 = 0,9142135623730950488016887242097
^-это возведение в степень.

Да, действительно надо проще быть в решении, час пробился ни к чему ни пришел

А почему 1-sqrt(2)/2?

[Lapp]

Lapp, а ведь она необязательно должна быть отцентрирована по квадрату, по моему. Она же может проходить одним концом проходить через конец квадрата и площадь не измениться!

Если последняя полоса сдвинута от центра, площадь меняется. Попробуй сдвинуть сам и увидишь: с одной стороны добавляется кусок (зеленый), а с другой убирается (рыжий); но рыжий - больше.

Пояснения к вычислению площади тоже на рисунке..

[Lapp]

10) Квадратный ящик со стороной 2006 разбит на квадратные ячейки со стороной 1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре ячейки, образующие квадрат 2х2, и он покажет, имеется ли в ячейках радиоактивный шар. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар?

Похоже, как тут ни крутись, а 1003^2+2 вынь да положь..

[Lapp]

Похоже, как тут ни крутись, а 1003^2+2 вынь да положь..

Уф, успел.. По дороге домой понял, что последнюю четверку проверять не нужно. Так что, минус один.

1003^2-1+2 = 1003^2-1 = 1006008
в формуле ошибка, заметил volvo (см. ниже)
Правильно:
1003^2-1+2 = 1003^2+1 = 1006010

У кого есть еще соображения?

[Michael_Rybak]

Вы показали, что *достаточно* s/4+1 ходов. Я думаю, еще надо показать, что меньше нельзя.

Сформулируем более общую задачу.

Имеем s=2006^2 клеток, из которых одна радиоактивна. За 1 ход можем выбрать *не больше чем* четыре *произвольных* клетки и узнать, есть ли среди них радиоактивная. Определить необходимое кол-во ходов.

Становится понятно, что каждой проверкой мы фактически разбиваем множество клеток на 2 группы, и узнаем, в какой из них радиоактивная.

Понятно, что нам всегда менее выгоден вариант, когда она оказывается в *большем* из двух множеств, если, конечно, все тестируемые клетки еще не подлежали проверке.

Первыми s/4-2 ходами мы, в худшем случае, ничего не найдем, и у нас останется >=8 клеток (больше, если мы, зачем то, проверяли какие-то клетки больше одного раза). Для восьми мы, очевидно, ничего лучшего, чем бинарный поиск, мы не придумаем: делим пополам, выбираем половину, в которой радиоактивная, всего 3 хода. Раз для восьми нужно 3 хода, то и для >=8 нужно >=3.

Таким образом, быстрее, чем за s/4-2+3 = s/4+1 нельзя решить задачу *более общую*. Действительно, изначально у нас можно было выбирать не <=4, а ровно 4 (среди которых, в принципе, могут быть и уже проверенные), и не произвольные клетки, а именно образующие квадрат 2х2. А если более узкую задачу можно было бы решить меньше чем за s/4+1 ходов, то можно было бы точно так же решить и более общую.

Итак, нижняя граница равна 1003^2+1, а благодаря Lapp'у мы знаем, что верхняя - тоже.