странная функция Опции

[Reflex]

Препод задал вопрос, а существует ли функция, которая везде непрерывна и нигде не монотонна? помогите ответить

Сообщение отредактировано: Reflex - 12.12.2006 5:34

[Айра]

Может это функция типа y=число. Например: y=1; y=4; y=-15.

[Michael_Rybak]

Наверное, имелась ввиду нестрогая монотонность.

[Altair]

Может это функция типа y=число

Согласен, либо горизонтальная прямая либо точка.

[Lapp]

Конечно нестрогая. Такой функции не бывает. Увы.

[Michael_Rybak]

А по-моему бывает... Потом напишу, будем искать у меня ошибку

[Lapp]

Потом напишу, будем искать у меня ошибку

Ждем-с..
Впрочем, я тоже пока не доказал невозможности. Вот сейчас лягу и в процессе засыпания буду... буду.. бу... хррр...

[Reflex]

О! а не поможите ли вы мне доказать что такой функции не бывает?

[Altair]

Теорема Вейерштрасса.
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

В условии тебе сказанно, что

везде непрерывна

Значит на всей области определения найдется наибольшее и наименьшее значение.
Ну а раз есть наибольшее и наименьшее значение, значит она монотонна

-добавил позже-
http://209.85.135.104/search?q=cache:Y3HeI...lient=firefox-a

по ссылке:

© Если непрерывная функция взаимно однозначна, то она строго монотонна.
(Разумеется, верно и обратное.)

-добавил позже-
А вот теперь и я сомневаюсь.
А неоднозначная функция? Если подобрать неоднозначную функцию?


-добавил позже-
Стоп, что значит неоднозначная? Это уже не функция!
Функция - это тройка D,E,F, где D - область определения, E-область значения, а F- это правило соответствия, которое каждому элементу из E сопоставляет единственное значение из E!

Сообщение отредактировано: Altair - 12.12.2006 21:49

[Michael_Rybak]

"которое каждому элементу из E сопоставляет единственное значение из E!" - это значит, что функция однозначная, но необязательно взаимнооднозначная!

Парабола, к примеру, не взаимнооднозначна.

[arhimag]

Может это что-то типа функции которая 0 во всех иррациональных и 1 в рациональных, только немного другая?

[Michael_Rybak]

В общем, у меня пример такой. Функция на [0; 3] задается так: f(0) = 0, f(3) = 3, f(1) = 2, f(2) = 1, а для прямоугольников {(0,0) - (1,2)}, {(1, 1) - (2, 2)} и {(2, 1) - (3, 3)} выполняем ту же процедуру рекурсивно (сохраняя пропорции).

[Lapp]

В общем, у меня пример такой.

А в чем твои сомнения? Все чисто. Оба свойства легко доказываются.
Good job!

[arhimag]

Кхм... Я может чего-то не понимаю, но ведь автору на прямой нужно!
-later
А... все вопрос снимаю, просто можно повторить эти отрезки

Сообщение отредактировано: arhimag - 13.12.2006 1:30

[Reflex]

я чесно говоря не совсем поняла :
1. как рекурсивно? можно еще несколько шагов
2. почему не монотонна
3. почему непрерывна

[Michael_Rybak]

1. как рекурсивно? можно еще несколько шагов

В начале есть отрезок, соединяющий точки (0, 0) и (3, 3). Потом мы этот отрезок "ломаем", т.е. превращаем в ломаную из трех звеньев. Потом мы каждое из этих трех звеньев опять "ломаем", получается 9 звеньев и т.д.

2. почему не монотонна
3. почему непрерывна

А это уж ты сама

[Altair]

В начале есть отрезок, соединяющий точки (0, 0) и (3, 3). Потом мы этот отрезок "ломаем", т.е. превращаем в ломаную из трех звеньев. Потом мы каждое из этих трех звеньев опять "ломаем", получается 9 звеньев и т.д.

Фрактал что ли?

[Michael_Rybak]

Вроде фрактала Только фигура не подобна сама себе, т.к. коеффициенты сжатия по X и по Y - разные, и меняются.

Сообщение отредактировано: Michael_Rybak - 13.12.2006 9:09

[Lapp]

Вроде фрактала Только фигура не подобна сама себе, т.к. коеффициенты сжатия по X и по Y - разные, и меняются.

Действительно похоже на фрактал.. А слабо оценить ее длину? конечная она или нет? Моя гипотеза - конечная.

Я вспомнил (как всегда, поздно), что уже слышал про существование такой функции, но уточнить ее вид тогда как-то не удосужился, а потом и вовсе забыл. Так что сейчас стал доказывать противоположное - чего, разумеется, сделать не смог (хотя был близок несколько раз, но всякий раз не хватало пустяка )

Но задача явно красивая и заслуживает особого внимания. И я решил построить ее график.. Смотрите, что получилось:

Красиво?
Разумеется, я вывожу только точки - соединять их линиями для такой функции было бы в корне неверно. Поэтому она выглядит разрывной. Если увеличить количество точек, можно добиться сплошного вида на графике, но будет менее красиво (пробовал, могу положить сюда по запросу).
Если кто хочет поиграться сам, привожу паскалевскую функцию, которая вычисляет эту самую функцию. Кстати, я для себя называю ее Молнией. Не правда ли, похожа?

function Lightning(x,s:real):real;
var
  a,b,Fa,Fb,d,dF:real;

begin
  a:=0;
  b:=3;
  Fa:=0;
  Fb:=3;
  repeat
    d:=(b-a)/3;
    dF:=(Fb-Fa)/3;
    if x<a+d then begin
      b:=a+d;
      Fb:=Fa+dF*2
    end
    else if x<a+2*d then begin
      b:=a+2*d;
      a:=a+d;
      Fb:=Fa+dF;
      Fa:=Fa+2*dF;
    end
    else begin
      a:=a+2*d;
      Fa:=Fa+dF
    end;
  until Abs(dF)<s;
  Lightning:=(Fa+Fb)/2
end;

Здесь х - параметр, а s - точность. Я брал точность 0.000001.
Так как насчет вычисления длины, а?

[Michael_Rybak]

Мда... с длиной это, конечно, интересно

Ну, по крайней мере, можно посмотреть, что там с ломаными получается, предел какой-никакой записать. Или хоть вычислить первых 10 шагов, и посмотреть...

Еще у меня такой вопрос: можно ли говорить, что если график непрерывной функции f(x) на промежутке [0; 1] имеет длину t, то график функции g(x) = f(x / 10) на промежутке [0; 10] имеет длину 10t ? Глупость, а вдруг правильно? Если правильно, то сразу выходит, что длина не может быть конечной.

По-любому красивая молния