странная функция Опции

[Bokul]

Извиняюсь за оффтоп, я бы тоже по-участвовал, но знаний не хватает:

Кстати, я для себя называю ее Молнией.

Скорее очертание горы напоминает.

[Lapp]

> Глупость, а вдруг правильно?
Нет, не правильно.
Рассмотри почти вертикальный график y=10x на [0,1] (его длина чуть больше 10, а потом растяни его на 10 и получишь длину 14.142
..
> Если правильно, то сразу выходит, что длина не может быть конечной.
Но длина не конечная, верно. Просто мне почему-то хотелось этого

> По-любому красивая молния
Спасибо!

Добавлено немного позже:
> я бы тоже по-участвовал, но знаний не хватает:
Для представления функции не нужно особых знаний.
Я сейчас положу тут программку, которая рисует последовательность по шагам. На ней все и поймешь.

> Скорее очертание горы напоминает.
Во-первых, она обязательно снизу доверху, а гора все же имеет один пик.
Во-вторых, образующий зигзаг явно напоминает стилизованное изображение молнии . В этой проге все видно.. Управление - клавиши + и - , выход - Esc. Для управления нужно перейти в окно задачи..

uses
  CRT,Graph;

function Lightning(x,s:real):real;
var
  a,b,Fa,Fb,d,dF:real;
  {n:integer;}

begin
  a:=0;
  b:=3;
  Fa:=0;
  Fb:=3;
 { n:=0;}
  repeat
    d:=(b-a)/3;
    dF:=(Fb-Fa)/3;
    if x<a+d then begin
      b:=a+d;
      Fb:=Fa+dF*2
    end
    else if x<a+d+d then begin
      b:=a+2*d;
      a:=a+d;
      Fb:=Fa+dF;
      Fa:=Fa+2*dF;
    end
    else begin
      a:=a+2*d;
      Fa:=Fa+dF
    end;
   { Inc(n)}
  until Abs(dF)<s;
  Lightning:=(Fa+Fb)/2;
  {WriteLn('n:',n,'   a=',a:10:8,'   b=',b:10:8,'   Fa=',Fa:10:8,'   Fb=',Fb:10:8)}
end;

var
  GrDr,GrMo,iMax,jMax:integer;
  x,dx,y,dy:real;
  c:char;

begin
  GrDr:=0;
  GrMo:=0;
  InitGraph(GrDr,GrMo,'');
  iMax:=GetMaxY;
  jMax:=GetMaxY;
  SetColor(DarkGray);
  x:=0;
  dx:=0.2;
  while x<=3.0001 do begin
    Line(Round(x/3*iMax),0,Round(x/3*iMax),jMax);
    x:=x+dx
  end;
  y:=0;
  dy:=0.2;
  while y<=3.0001 do begin
    Line(0,Round(y/3*jMax),iMax,Round(y/3*jMax));
    y:=y+dy
  end;
  {x:=0;
  dx:=0.0001;
  while x<=3.0001 do begin
    PutPixel(Round(x/3*iMax),jMax-Round(Lightning(x,0.000001)/3*jMax),LightCyan);
    x:=x+dx
  end;}
  dx:=3;
  c:='+';
  repeat
    x:=dx;
    SetColor(Black);
    MoveTo(0,jMax);
    while x<=3.0001 do begin
      LineTo(Round(x/3*iMax),jMax-Round(Lightning(x,0.000001)/3*jMax));
      x:=x+dx
    end;
    case c of
      '+': dx:=dx/3;
      '-': begin
        if dx<=1/3 then dx:=dx*3;
        if dx>0.5 then dx:=1
      end
    end;
    x:=dx;
    SetColor(LightCyan);
    MoveTo(0,jMax);
    while x<=3.0001 do begin
      LineTo(Round(x/3*iMax),jMax-Round(Lightning(x,0.000001)/3*jMax));
      x:=x+dx
    end;
    repeat
      c:=ReadKey
    until c in['+','-',#27];
  until c=#27;
  CloseGraph
end.

Сообщение отредактировано: Lapp - 14.12.2006 7:12

[Lapp]

Насчет длины. Нестрогое рассуждение, но, по-моему, верное.

По мере увеличения числа шагов угол наклона отрезков к оси Х увеличивается. Правда, остаются и куски с малым наклоном (и даже один с наклоном единица, в центреЮ а также два с наклоном 2, ...), но их мало. Когда подавляющее число отрезков станет практически вертикальными, то на каждом шагу их длина будет умножаться на 5/3. Вот поясняющий рисунок:

 |         |
 |   =>  |\|
 |       |

Длина добавившейся части равна 2/3.

Таским образом, длина явно бесконечна

[Michael_Rybak]

Вопрос в том, равна ли длина этой фигуры пределу длин ломаных?

Спасибо за программки, красиво

[Lapp]

> Вопрос в том, равна ли длина этой фигуры пределу длин ломаных?
Ну ты здоров придираться! Вопрос, конечно, не совсем праздный, но если учесть, что узлы каждой ломаной остаются жить в функции навсегда, и два соседних узла на некотором шаге соединены кратчайшим путем, а через все узлы, которые появятся между ними, необходимо будет пройти, то станет ясно, что длина ломаной - это как минимум оценка снизу. Таким образом, если длина ломаной стремится к 00, то реальная длина кривой есть тем более бесконечность

> Спасибо за программки, красиво
Если раскомментировать блок в последнем тексте, то ломанная будет накладываться на первый график. Оччень показательно, особенно к вопросу этого мессаджа

[hiv]

А как же определение непрерывности функции в точке?
Функция f(x) тогда и только тогда непрерывна в точке x0, когда она непрерывна в точке x0 справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:
1) функция f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки;
2) существует предел значений функции слева: lim(f(x)) при x->x0- = f(x0-);
3) существует предел значений функции справа: lim(f(x)) при x->x0+ = f(x0+);
4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке x0: f(x0-)=f(x0+)=f(x0).

Для вашей ломаной при количестве итераций -> бесконечности уже первое условие не выполняется. Ищите дальше

Сообщение отредактировано: hiv - 14.12.2006 15:37

[Michael_Rybak]

два соседних узла на некотором шаге соединены кратчайшим путем

Вау! Вау! Мои аплодисменты! Очень красивое решение

1) функция f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки;

Для вашей ломаной при количестве итераций -> бесконечности уже первое условие не выполняется. Ищите дальше

Да ладно

Очевидно, что для любой точки X существует стремящаяся к ней последовательность Xi такая, что каждый из Xi - один из "зафиксированных" узлов. Более того, соответствующая последовательность f(Xi) стремится к некоторому числу, это тоже легко показать. Именно это число является значением f(X).

[Michael_Rybak]

Насчет длины. Нестрогое рассуждение, но, по-моему, верное.

По мере увеличения числа шагов угол наклона отрезков к оси Х увеличивается. Правда, остаются и куски с малым наклоном (и даже один с наклоном единица, в центреЮ а также два с наклоном 2, ...), но их мало. Когда подавляющее число отрезков станет практически вертикальными, то на каждом шагу их длина будет умножаться на 5/3. Вот поясняющий рисунок:

 |         |
 |   =>  |\|
 |       |

Длина добавившейся части равна 2/3.

Таским образом, длина явно бесконечна

Просто, чтобы не оставалось белых пятнышек - эти рассуждения легко сделать строгими.

Рассмотрим замену одного отрезка на ломаную из трех звеньев.

Пусть отрезок соединяет точки (x0, y0) - (x0 + 3dx, y0 + 3dy).

По построению имеем, что dx <= dy.

Длина отрезка равна sqrt(9dx^2 + 9dy^2). Оценим длину полученной ломаной. Это будет sqrt(dx^2 + 4dy^2) + sqrt(dx^2 + dy^2) + sqrt(dx^2 + 4dy^2)

Оценим отношение новой длины к старой:

Код

(sqrt(dx^2 + 4dy^2) + sqrt(dx^2 + dy^2) + sqrt(dx^2 + 4dy^2)) / sqrt(9dx^2 + 9dy^2) >
(sqrt(   0 + 4dy^2) + sqrt(   0 + dy^2) + sqrt(   0 + 4dy^2)) / sqrt(9dy^2 + 9dy^2) =
(               2dy +                dy +                2dy) / (sqrt(18)dy) =
5/sqrt(18) = sqrt(25/18).

Таким образом, длина *каждого* отрезка (а, значит, и всей ломаной) на каждой итерации увеличивается как минимум в sqrt(25/18) - оценка грубая, но достаточная

[Lapp]

Для вашей ломаной при количестве итераций -> бесконечности уже первое условие не выполняется.

hiv, почему?.. Рассмотри способ построения внимательно. На каждом шаге на каждом отрезке функция от любой точки этого отрезка либо фиксируется навсегда (если попадает на узел), либо все более ограничивается . Например, в первой трети (и аналогично в третьей), если перед делением границы a и b, то после деления грвницы a и 2/3*b. Во второй сужения не происходит, но происходит постоянное сужение самой второй трети с переходом точек в первую и вторую трети (кроме централной точки, значение которой фиксировано.
В качестве иллюстрации, рассмотри текст функции, которую я привел выше. Там точность считается достигнутой, когда она попадает в процессе итераций на отрезок, функции от концов которого (не забываем, концы всегда зафиксированы навсегда) разнятся не более, чем на величину точности. И это, осмелюсь утверждать, правильно. Вникни потщательнее, все станет на свои места .

Вау! Вау! Мои аплодисменты! Очень красивое решение

[долго роется в смайликах, отыскивая подходящий, не находит, с шумом набирает воздух в легкие, отодвигает клавиатуру, стучит кулаками по столу, стучит ногами по полу, потом кулаками в грудь, ногами по столу, кулаками по полу, ногами в грудь, придвигает клавиатуру, печатает..] Дорогой Друг и Придирчивый Критик! [с видом победившего в одной отдельно взятой стране социализма оглядывает все вокруг] Никто же не виноват, что Вы соединили точки ломаной in question именно отрезками прямой, а не волнистой линией. Буде это была синусоида, я бы не употребил того выражения, которое привело Вас в столь неистовый восторг, так как оно было бы неправомерным. И тогда заключение о минимальности оценки длины кривой длиной ломаной не имело бы силы - ни de jure, ни de fActo [букву "a" в последнем слове нажимает не пальцем, а ударом кулака, отчего она появляется в верхнем регистре]. Прошу Вас учитывать сии "пренебрежимые" (с Вашей точки зрения) обстоятельства, дабы не попасть, как говорится, "в досаднейший просак" [печатая два последних слова, проговаривает их, с явным удовольствием затягивая звук "ccc" в каждом из них].
[Откидывается на спинку кресла, перечитывает написанное, исправляет 9 стилистических, 17 пунктуационных, 28 орфографических ошибок, сделанных в запале, а также 53 ничем не обусловленные опечатки]

на каждой итерации увеличивается как минимум в sqrt(25/18) - оценка грубая, но достаточная

Из твоего рассуждения не следует, что "как минимум". Нужно добавить, что на каждом шаге наклон отрезков либо увеличивается (боковых), либо остается постоянным). А при увеличении наклона посчитанный тобой коэфиициент также увеличивается.

[hiv]

hiv, почему?.. Рассмотри способ построения внимательно...

Рассмотрел. Понял. Мои возражения отклоняются.

[Michael_Rybak]

Никто же не виноват, что Вы соединили точки ломаной in question именно отрезками прямой, а не волнистой линией.

Оставляя без внимания перспективу о досссаднейшем просссаке, позволю себе высказать предположение, что на случай синусоиды Вы вполне вероятно изволили бы потрясти виртуальные стены сего форума другой изящнейшей находкой. Потому продолжаю пренебрегать обстоятельствами. Мое неизменное почтение.

Из твоего рассуждения не следует, что "как минимум". Нужно добавить, что на каждом шаге наклон отрезков либо увеличивается (боковых), либо остается постоянным). А при увеличении наклона посчитанный тобой коэфиициент также увеличивается.

Посчитаный мной коэффициент был мной посчитан исходя из того предположения, что dx <= dy. А при увеличении наклона это неравенство остается в силе. sqrt(25/18) - это нижняя оценка, которая выполняется всегда, потому и "как минимум" Вроде все правильно написал, почему не "как минимум"? Как минимум - это значит, столько, или больше.

[Lapp]

А при увеличении наклона это неравенство остается в силе. sqrt(25/18) - это нижняя оценка, которая выполняется всегда, потому и "как минимум" Вроде все правильно написал, почему не "как минимум"? Как минимум - это значит, столько, или больше.

Я кажется понял - поскольку это относится к моему предыдущему рассуждению, то утверждение об увеличении наклона как бы берется тобой оттуда - так? Извини, я просто хотел добавить, что это необходимое условие.
Вопрос снят

[Michael_Rybak]

Я кажется понял - поскольку это относится к моему предыдущему рассуждению, то утверждение об увеличении наклона как бы берется тобой оттуда - так? Извини, я просто хотел добавить, что это необходимое условие.
Вопрос снят

Ну да, вот:

Насчет длины. Нестрогое рассуждение, но, по-моему, верное.

Просто, чтобы не оставалось белых пятнышек - эти рассуждения легко сделать строгими.

По построению имеем, что dx <= dy.

(последнее и есть про наклон)