Уравнение эллипса Опции

[ammaximus]

Не мог бы кто рассказать немного по этой теме, своими словами если можно;
Эксцентриситет - Что это?
Как получают эллипс?
Искал в инете - бред полный, ничего не понял.

[arhimag]

Выберем на плоскости точку F и прямую d и зададим вещественное число r>0. Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки F и до прямой d отличается в r раз, является коническим сечением.
Точка F называется фокусом конического сечения, прямая d — директрисой, число r — эксцентриситетом.
В зависимости от эксцентриситета, получится:
при r<1 — эллипс;
при r=1 — парабола;
при r>1 — гипербола.
Вот так.

Формула эллипса соответсвенно:

X^2/(большая полуось)^2 + Y^2/(малая полуось)^2

Сообщение отредактировано: arhimag - 19.12.2006 22:05

[ammaximus]

arhimag, я не увидел логики у вас вообще...

число e — эксцентриситетом.
<Какая связь здесь?>
В зависимости от эксцентриситета, получится:
при r<1 — эллипс;
при r=1 — парабола;
при r>1 — гипербола.

[Lapp]

arhimag, если отвечаешь, отвечай четко..

число e — эксцентриситетом.
...
X^2/(большая полуось)^2 + Y^2/(малая полуось)^2

Что за число e? Ты его не определил даже.. Или называться буквой "e" уже достаточно, чтоб быть эксцентриситетом? Как говорил Л.Кэррол, "никогда не произноси слова только за то, что они красивые и длинные". И если копируешь текст - копируй полностью, со всеми необходимыми определениями..
А уравнение закончить - чернил не хватило?

ammaximus, эллипс - это сжатая (с постоянным коэффициентом сжатия) окружность. Это, пожалуй, самое простое, что можно сказать, чтоб его себе правильно представить. Еще одно наглядное представление эллипса - это срез цилиндра с круглым основанием плоскостью. Эти два утверждения дают возможность сказать, что в реальной жизни мы наблюдаем эллипсы очень часто - стоит лишь посмотреть на тарелку (монету, колесо, компакт-диск, циферблат и т.п.) не анфас, а немного сбоку.

Эллипс обладает одним совершенно замечательным свойством: внутри него есть такие две точки, сумма растояний от которых до любой точки на самом эллипсе есть постоянная величина. И это приводит к еще одному ответу на твой вопрос:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%...%B8%D0%BF%D1%81

Как получают эллипс?

Возьми лист бумаги, положи его на чертежную доску и прикнопь его по углам, чтоб не двигался. Возьми еще одну кнопку и вколи ее в центр листа, но не загоняй до конца - сделай так, чтоб кнопка немного торчала над листом. Теперь возьми нитку длиной сантиметров 30 и свяжи ее в кольцо. Накинь это кольцо на центральную кнопку. Теперь возьми карндаш и оттяние кольцо его острием, уперев острие в бумагу. Теперь веди карандашь по бумаге так, чтобы нитка оставалась натянутой. Какую фигуру опишет карадаш при этом? Ответ очень простой: окружность.

Идем дальше. Тепрь наметь на листе бумаги две точки на расстоянии примерно 10 см друг от друга вблизи центра. Вколи две кнопки так же, как в первом случае (ту старую кнопку вынь). Затем накинь имеющееся у тебя кольцо на обе кнопки, возьми карадаш и, поставив острие карандаша на бумагу, оттяни ниточное кольцо так, чтобы нитка натянулась. После этого веди карандаш так, чтоб острие скользило по нитке, оставляя ее натянутой. Фигура, которую опишет карандаш в этом случае, есть эллипс - и это следует из упоямнутого мной свойства.

Прежде чем перейти к эксцентриситету и прочим заумным вещам, я предлагаю тебе сесть и немного подумать над одним вопросом. Мне кажется, что если человек сам не попытается для себя решить этот вопрос, его понимание эллипса (и многих других связанных вопросов) будет неполным. К тому же это поможет тебе потренировать свое геометрическое воображение. Я считаю, что мне повезло, что когда-то моя учительница не проспойлила мне удовольствие самому подумать (она искусно притворилась, что сама не знает ).

Итак, ты знаешь, что сечение цилиндра плоскостью - эллипс, при этом эллипс выглядит как сплюснутый круг. А можешь ли ты описать хотя бы очень приблизительно, как будет выглядеть сечение конуса плоскостью? Разумеется, имеется в виду конус с круглым основанием.

Заавтра я отвечу на все твои вопросы, а пока умолкаю. Прошу также всех, кто захочет ответить в эту тему, не подсказывать автору.
Успехов!

[ammaximus]

Немного несвязано.
Думаю, сечением будет эллипс, хотя не могу его отчетливо получить (я уже даже пробовал вращать кривые песочные часы - помогает увидеть модель, однако для доказательства - бездарно...).

На рисунках 1 и 2 показаны попытки разрезать цилиндр и конус (угол одинаковый). Образованную фигуру назовем "Кривые песочные часы". Заметим, образованные треугольники равны у цилиндра и подобны у конуса.

Попробуем перенести на объемный чертеж.
Таким образом 2 варианта:
1. Эллипс, центр которого НЕ принадлежит оси конуса.
2. Фигура, напоминающая яйцо(пришла мне в голову, когда я об этом задумался).
Яйцо получится, если неравность треугольников ничем не компенсируется, и эллипс если компенсируется.
Посмотрите неравность расстояний от краев до оси компенсируется такой же (подобие) неравностью от краев до пересечения.=>Эллипс
Другой вариант:
Предположим, что это эллипс.
Центр предполагаемого эллипса показан на рисунке квадратиком(середина АВ).
У эллипса 2 радиуса, значит можно рассмотреть второй относительно предполагаемого центра, и если он существует, то это эллипс. А для этого нужно доказать, что сегмент, образованный отсечением от окружности (которой принадлежит центр) сечением. (ХЪ Бред такой, да? ). Посмотрите на рисунок 3 вообщем.


Сообщение отредактировано: ammaximus - 19.12.2006 21:33

[arhimag]

Ошибку исправил

[ammaximus]

Пришла в голову идея, если разместить плоскость сечения вертикально, но не через ось получиться сечение наподобие параболы...

[Lapp]

Рассуждения в целом верные. Я и не рассчитывал на более точные выкладки, просто хотел, чтобы ты повертел это в мозгу. Соображения о "компенсации" меня вполне устраивают . Но..

если разместить плоскость сечения вертикально, но не через ось получиться сечение наподобие параболы...

- вот тут ты подумай еще разок.. Ты нащупал одно интересное положение плоскости сечения, хотя и не совсем верно (точнее, совсем неверно) его интерпретировал.. Попробуй найти и еще одно положение, не менее интересное..
Формально это выходит за рамки изначальной темы, но ты не будешь об этом жалеть .

[ammaximus]

Сечения возможны 1. Горизонтальные - эллипс (предельный - круг) 2. Вертикальные скругленный треугольник (предельный - треугольник) 3. Наискосок - как раз парабола или рваный эллипс, смотря как разрезать (предельный - эллипс). См прикрепленный.


Сегодня разговаривал с учителем по математике. Вопрос был один: проходит ли ось конуса через центр эллипса. Сделали несколько чертежей. Проходит. Но на рисунке 2. четко видны треугольники разных площадей... В чем дело?

<>Рисунок 2, это который сверху.<>

Сообщение отредактировано: ammaximus - 20.12.2006 23:02

[Lapp]

Во-первых, давай уточним: мы имеем дело с неограниченным (снизу) конусом. Еще одно уточнение сделаем позже, пока хватит этого.

Во-вторых, хочу подправить твою классификацию. Есть три типа сечений:
1. Плоскость сечения параллельна образующей конуса. Форма сечения - (подставь ответ).
2. Плоскость сечения параллельна оси конуса. Форма сечения - (подставь ответ).
3. Любая другая плоскость сечения. Форма сечения - эллипс.
Убедись для себя, что классификация полная и корректная.

В третьих, совет: на учителя надейся, да сам не плошай.. Конечно, центр эллипса не лежит на оси конуса - это абсолютно очевидно из простейших чертежей.. Даже странно, что такой вопрос возник

В четвертых: попробовал ли ты рисовать эллипсы с ниткой? Это забавно и поучительно.

В пятых: не пость файлы в формате bmp. Делай gif по возможности.

[ammaximus]

1. Парабола.
2. Скругленный треугольник.
3. Уже разобрались.
4. Это комическая история. Бегал по квартире, искал кнопки. Нашел два шурупа и дощечки. Начал вворачивать. Треснула. Взял тонкий дротик и попытался вбить его в дощечку. Не лезет. Стал вбивать молотком. Когда наконец вбил, выяснилось, что второго дротика нет. Его заменил на карандаш. Неудобно, но эллипс получился...

[Lapp]

> 1. Парабола.
Верно.

> 2. Скругленный треугольник.
У тебя еще одна попытка. Подсказка: эту кривую ты знаешь. Обрати внимание, что конус неограничен.

> Неудобно, но эллипс получился...
Ужас.. В доме нет кнопок?.. Купи.. Кнопки наиболее удобны, чтобы нитка не съезжала.
Теперь, когда первый опыт есть, попробуй следующее: наметь себе приблизительно эллипс, который ты хочешь нарисовать, а потом попробуй это сделать с помощью кнопок и нитки (без расчетов, на глаз)

[ammaximus]

Y=1/x - эта кривая похожа на мой треугольник

[Lapp]

Y=1/x - эта кривая похожа на мой треугольник

Да.
Ты знаешь ее название?

[ammaximus]

Это гипербола... Я чего-то перепутал ее с кубической параболой, поэтому написал 1/x

[Lapp]

Это гипербола

Верно.

А теперь сделаем второе уточнение..
Наш конус неограничем в одну сторону. То есть он как бы образован лучом, вращающимся вокруг вершины под постоянным углом к оси. Так?
Теперь продлим этот луч, сделаем его прямой, бесконечной в обе стороны. Тогда фигура, получающаяся от ее вращения представит собой двуполостный конус, то есть что-то похожее на песочные часы, про которые ты уже говорил. Это понятно?

Теперь попробуй провести все эти сечения с таким вот двуполостным конусом. И отследи, какие есть (если есть) измненения..

[ammaximus]

1. Парабола была, парабола осталась.
2. Гипербола стала похожа на гиперболу - 2 ветви
3. Эллипс был - эллипс остался.

[Lapp]

1. Парабола была, парабола осталась.
2. Гипербола стала похожа на гиперболу - 2 ветви
3. Эллипс был - эллипс остался.

Точно!
Вот все эти кривые (а также их вырожденные случаи - например, две пересекающиеся прямые) имеют общее название: конические сечения. Твой вопрос изначально касался только эллипса, но все конические сечения имеют ряд общих свойств, в том числе касающихся эксцентриситета, который фигурировал в твоем вопросе. И ответ только про эллипс был бы несколько неполным. Поэтому, извини, я и решил привести тебя к более общему случаю .
Дальнейшие объяснения ты можешь найти много, где. Простое (и довольно неплохое) изложение есть в Википедии: Эллипс. Обязательно сходи там по ссылке "эксцентриситет" - там ты найдешь то, о чем говорил arhimag, в сообщении которого ты не увидел никакой логики в начале. Логика была, хотя и не без ошибок..
Успехов!

[ammaximus]

Спасибо, Lapp. Я разобрался.