Уравнение Опции

[LuckyI]

Ну вот, как я и обещал, сново мучаю вопросами. На этот раз уравнение с таким условием: "Решить в целых числах уравнение"

(x^2+y^2)(y^2+z^2)=25

Если можно сначало хоть намекните как такое решается, ну а потом, если уж я не додую...

[Lapp]

Если можно сначало хоть намекните как такое решается,

Скобки должны быть целыми.. Так? А при перемножении должны давать 25.. Какие ты знаешь целые числа, которые в произведении дают 25?

[Altair]

Спойлер (Показать/Скрыть)

x = 2, y = 1, z = 2
(2^2+1^2)(1^2+2^2)=(4+1)(1+4)=5*5=25

Какие ты знаешь целые числа, которые в произведении дают 25?

1 и 25 или 5 и 5 или 25 и 1
Если теперь записать уравнения, получим выбор (ИЛИ) из 3 систем (И):
(x^2+y^2 = 1) & (y^2+z^2 = 25) V (x^2+y^2 = 25) & (y^2+z^2 = 1) V (x^2+y^2 = 5) & (y^2+z^2 = 5)
гыыы, нравиться? (записано верно, приоритет И выше поэтому скобки не нужны)
Теперь как решать каждую систему.
В каждой системе есть 3 переменных - x,y,z. Причем y в обоих. Делаем его - параметром (переносим направо, т.е. выражаем x и z!
Получаем:
(x^2=1-y^2) & (z^2=25-y^2) V (x^2=25-y^2) & (z^2=1-y^2)V(x^2=5-y^2)&(z^2=5-y^2)
Вспоминаем, что корень - неотрицательная величина, следовательно область определения y
1 система [0,1]
2 система [0,1]
3 система [0,2]
Итого получаем 7 наборов корней, из которых условиям удовлетворяют конечно не все.
Ну и если лень считать:

var x,y,z: byte;
begin for x:=0 to 25 do for y:=0 to 25 do for z:=0 to 25 do if (sqr(x)+sqr(y))*(sqr(y)+sqr(z))=25 then writeln(x,' ',y,' ',z) end.

[arhimag]

Ну надо еще отметить что числа целые и не отрицательные, так как сумма квадратов дает в сумме число дольшее или равное нулю, а то числап -5 и -5 -1 и -25 тоже подходят

[volvo]

arhimag, а ты сможешь мне показать два ЦЕЛЫХ числа, сумма квадратов которых отрицательна?

P.S. Опять флудить потянуло?

[Lapp]

Спойлер (Показать/Скрыть)

Вспоминаем, что корень - неотрицательная величина, следовательно область определения y

Действительно, корень - величина неотрицательная. Именно поэтому уравнение
x^2 = 4
имеет два решения: 2 и -2, то есть Sqrt(4) и -Sqrt(4).
Так что отрицательные решения тоже нужно учесть..
Но программа - супер!

[LuckyI]

Lapp, ну 1 и 25, 5 и 5, 25 и 1... И теперь нужно приравнять каждую скобку к 1 и 25 соответственно и в систему получившиеся 2 уравнеия? И так с каждой парой чисел.. Так или что-то не то?

Altair, как я понимаю там решение? Спасибо. Но пока смотреть не буду...

[Lapp]

Lapp, ну 1 и 25, 5 и 5, 25 и 1... И теперь нужно приравнять каждую скобку к 1 и 25 соответственно и в систему получившиеся 2 уравнеия? И так с каждой парой чисел.. Так или что-то не то?

Да, так, только не забывайЮ что это не обычная система, а в целых числах. Так что и методы не обычные.. Но это не значит, что сложные. Скорее, наоборот..

[LuckyI]

Хех, для меня это скорее "обычная" система.. ))) сейчас попробую решить..
Спасибо! )

[LuckyI]

Вот только загвоздочка... Переменные то три, а в системе 2 уравнения...
Ну вот приравнял я и ту, и ту скобку к 5
x^2+y^2=5
y^2+z^2=5
Тут ведь 2 переменные должны быть равны друг другу...
О, до меня в процессе писания этого сообщения похоже дошло... -)

Вот как я рассуждаю, x и y, y и z не могут быть равны, так как находятся в одном уравнение, которое равно 5. А чтобы получить 5, нужно 2 разных числа.

А вот если приравнять к 1 и 25
x^2+y^2=1
y^2+z^2=21
Будут равны x и y? Да еще и можно сказать, что равны 1?

Update: Не, чего-то я хрень какую-то написал. Не понимаю...

Update2: Вот на чем я застопорился:
x^2+y^2=5
y^2+z^2=5
Получаю:
x^2=5-y^2
z^2=5-y^2
А вот что дальше делать не пойму...

Сообщение отредактировано: LuckyI - 14.12.2006 0:57

[Lapp]

> Вот только загвоздочка... Переменные то три, а в системе 2 уравнения...
А говорил - обычная для тебя система.. Теперь понял?

> А вот что дальше делать не пойму...
перебирать..

[LuckyI]

А говорил - обычная для тебя система.. Теперь понял?

Угу...

> А вот что дальше делать не пойму...
перебирать..

Т.е. выяснив, что x=z нужно подобрать числа, подходящие в эту систему?
x^2+y^2=5
y^2+z^2=5
Но это ведь нерационально что ли... Ну, допустим, в этой системе подобрать не трудно... а если бы в правой части уравнения было б не 25, а XXX, например... Как тогда, тоже вручную подбирать?
Или я не так понял?

[Lapp]

Но это ведь нерационально что ли... Ну, допустим, в этой системе подобрать не трудно... а если бы в правой части уравнения было б не 25, а XXX, например... Как тогда, тоже вручную подбирать?
Или я не так понял?

Ты все правильно понял.
И именно поэтому твоя задача содержит именно число 25, а не 2179821749219873264.
Ты заметил, что в задачах на квадратные уравнения тоже не встречается слишком уж больших чисел? Скажем, 12-значных. Ведь формула верна и для них!
Не встречается их потому, что на калькуляторе всего 10 разрядов..

К сожалению, общие методы решения существуют далеко не для всех типов задач. Может, пока ты в школе, у тебя может сложиться впечателние, что методы есть для всего - надо только их пройти . Но это абсолютно не так.
Один из моих знакомых (руководитель математического кружка при МГУ) говорил:
"Школьники обычно не совсем правильно представляют себе математику. Вот их сначала научили решать линейные уравнения, а потом квадратные. На факультативе в школе их учат решать кубические уравнения. Вот они и думают, что тут, на кружке, они займутся решением уравнений четвертой степени.."

Математика на 99.9999..% (количество девяток возрастает по мере знакомства с ней) состоит именно из нестандартных подходов и нестандартного мышления. Правда, это абсолютно не исключает того, что для того, чтоб уметь это делать, нужно знать как можно больше из того, что было сделано в ней до тебя.

Задачи на целые числа в основном решаются перебором. Но в каждой из них есть что-то, что облегчает этот перебор, сделает его возможным. Так и тут. Составитель твоей задачи главным моментом в ней считал именно применение идей о разложении чисел, о знаках квадратов и т.п. На сам перебор усилия не делается. Да и зачем?
Стало понятнее?

[LuckyI]

Спасибо, да, на многое открыл глаза...

Вот, решил уравнение, получилось:
x1=z1=+-2; y1=+-1;
x2=+-1; z2=+-5; y2=0;
x3=+-5; z3=+-1; y=0;



Сообщение отредактировано: LuckyI - 16.12.2006 1:46

[Lapp]

> Спасибо, да, на многое открыл глаза...
Я рад

> Вот, решил уравнение, получилось:
Числа похожи.. Сравни с решением Альтаира

[LuckyI]

Спасибо за помощь