ПВГ 2007, Обсуждение с 26.01. Опции

[lord_wil]

Предлагаю через 5 дней (когда закончится срок сдачи работ) обсудить задания олимпиады "Покори Воробьевы горы". Среди них, я считаю, есть очень и очень стоящие. Хотелось бы знать ваше мнение...
Вот ссылка: http://www.mk.ru/student/test.asp?FacID=3

P.S.Сообщение о задачах по физике я оставил на форуме "Физика".

[мисс_граффити]

А почему 26?
В правилах:
для 11 классов:

Выполни блок заданий, относящийся к этому факультету (-ам), и отправь его со своей персональной страницы до 15 января 2007 года, прикрепив свое фото.

для 9-10:

Выполни блок заданий по предмету (-ам), и отправь его со своей персональной страницы до 31 января 2007 года, прикрепив свое фото.

Задачи правда красивые (некоторые). Если не секрет, участвуешь?

//Сорри за оффтоп.

[lord_wil]

А почему 26?

Вообще-то они продлили срок для 11 кл. до 25 января (Это у них такой был новогодний подарок ), но не везде успели исправить даты, а ты наверное посмотрела там, где не исправили.

Если не секрет, участвуешь?

Да, но написал плохо. Мне еще учиться и учиться...

Может, выложу свои решеньица.(Но только 26-го или после)

Сообщение отредактировано: lord_wil - 25.01.2007 8:50

[Забавная стервочка]

Наконец-то можно начать обсуждения работ!!!

[мисс_граффити]

может, сначала надо предоставить слово участникам? что решили, что получилось....

[lord_wil]

Ну-с, поехали!

Свои решения я пока выкладывать не буду, потому что есть такие товарищи, которые могут отправить работу почтой задним числом...
Но кое-что сейчас сказать все-таки можно.

Начнем с задач. Вот, собственно, задачи (с официального сайта их уже убрали):

------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Из пункта А вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В во встречном направлении выехал велосипедист. Они двигались с постоянными скоростями, и через час расстояние между ними равнялось 3 км, а ещё через час – 14 км. Найти расстояние между пунктами А и В.

2. Решить уравнение


3. Какие значения, в зависимости от параметра a, может принимать выражение
,
в котором числа x1, x2 – два различных корня уравнения x^3 – 2007x = a?

4. Существует ли такой прямоугольный треугольник, что увеличенные на 1 оба его катета и гипотенуза являются соответственно катетами и гипотенузой другого прямоугольного треугольника? Тот же вопрос, если все три стороны исходного треугольника не увеличивать, а изменять на 1, т.е. увеличивать или уменьшать – каждую по своему усмотрению.

5. Чему равно пятое (в порядке возрастания) из натуральных чисел n, удовлетворяющих неравенству
sin 1 + sin 2 + … + sin n < 0?

6. Окружность касается другой окружности в точке A, а её хорды BC – в точке D. Найти радиус второй окружности, если BC = 6 и угол BAD = 30°.

7. Решить уравнение
f(x, y, z) + |f(z, y, x)| = 0,
где обозначено
f(a, b, c) = (a + b + 2c + |a – b|) + |a + b – 2c + |a – b||.

8. Последовательность целых чисел для некоторой (неизвестной) константы k удовлетворяет при каждом натуральном n > 1 условию . Найти , если и .

9. Найти все тройки положительных чисел x, y, z, удовлетворяющие системе


10. Дан тетраэдр, две вершины которого отмечены. Для каждого натурального числа n выяснить, на какое наибольшее число частей могут разбить этот тетраэдр n плоскостей, каждая из которых проходит хотя бы через одну из отмеченных вершин.

Сообщение отредактировано: lord_wil - 26.01.2007 21:37

[мисс_граффити]

Скажи хоть, какие номера решил

[lord_wil]

Вот мое мнение о этих задачах.

Задача 1. Из разряда стандартных. Только возникает вопрос: а как двигаются пешеход и велосипедист? Может выехали из своих пунктов и ехали себе преспокойно в одну сторону (каждый - в свою) до скончания веков, а может ездили туда-сюда между А и В??? В задаче сказано, что они ехали с постоянными скоростями . "Скорость - это вектор, он был постоянен, значит направления не менялись" - такое объяснение подошло бы, если бы задача была предложена на физике, но на математике оно пойдет???
Ваши мнения?

Задача 2. Стандартнейшая.

Задача 3. Интересная. Первое, что пришло в голову, это - брать энциклопедию и искать формулу Кардано. Но стоило составить два уравнения простой подстановкой корней, и вычесть одно из другого, как ответ стал очевиден, и осталось только проверить условие существования не менее чем двух различных корней (ну там минимумами-максимумами и проч.).

Задача 4. Для тех, кто знает теорему Пифагора и любит много писать. Если кто нашел др. решение - пишите.

Задача 5. Нашел решение, но ОЧЕНЬ трудоемкое. С помощью индукции доказывал, что при всех n выражение в левой части неравенства приводится к определенному виду из двух множителей, и проверял эти множители при каждом n, до тех пор, пока не наткнулся на нужное число.

Задача 6. Недооценил. Заметил, что рассмотрел только один частный случай только прямо перед отправкой, когда что-либо писать и исправлять не было времени

Задача 7. Красивая задача. Доказываем. Подставляем. И все становится просто.

Задача 8. Ох, как же все-таки любят господа экзаменаторы работать с числами, обозначающими года... Работаем с последним условием, рассматриваем все случаи - остается два. Дальше - предположение, индукция, и ответ готов.

Задача 9. Не знаю, может мне просто показалось, что она легкая?? Выражаем z из последних двух неравенств, составляем условие существования корня, и теперь у нас уже не система неравенств, а система уравнений.

Задача 10. САМАЯ СЛОЖНАЯ И КРАСИВАЯ. Оставлю ее обсуждение на закуску, чтобы подробно обсудить ВСЕ тонкости.

------------
А теперь - ваши мнения...

Сообщение отредактировано: lord_wil - 27.01.2007 20:58

[lord_wil]

Что-то не видно энтузиазма.

[Забавная стервочка]

сейчас нигде нет энтузиазма на мк тож не обсуждают работы... зато там обсуждается почему сайт перестал работать за час - полтара (у кого как) до 0:00!

кстати по поводу 5. сначала тож вывела ф-лу, потом надо решить нер-во и подставить 5... по-моему ничего трудоемкого... особенно что ф-ла есть в учебнике и вывод теоретически не обязателен

[lord_wil]

кстати по поводу 5. сначала тож вывела ф-лу, потом надо решить нер-во и подставить 5... по-моему ничего трудоемкого... особенно что ф-ла есть в учебнике и вывод теоретически не обязателен

Видишь ли, там в эту формулу надо не просто подставить 5.

Чему равно пятое (в порядке возрастания) из натуральных чисел n удовлетворяющих неравенству

Там надо по порядку подставлять ВСЕ натуральные числа, начиная с 1, до тех пор, пока не найдется 5 выражений, которые были бы отрицательны.

А это - больше чем тридцать уравнений, или два с половиной листа А4.

Но опять же - может есть более рациональные решения. Ведь я могу ошибаться

Сообщение отредактировано: lord_wil - 26.01.2007 22:20

[мисс_граффити]

Там надо по порядку подставлять ВСЕ натуральные числа, начиная с 1, до тех пор, пока не найдется 5 выражений, которые были бы отрицательны.

зачем начиная с 1? очевидно ведь, что sin(1), sin(2), sin(3)>0
значит, и сумма положительная
а вот дальше надо смотреть....

кстати, за счет периодичности можно еще сократить немножко.

Сообщение отредактировано: мисс_граффити - 26.01.2007 22:34

[lord_wil]

зачем начиная с 1? очевидно ведь, что sin(1), sin(2), sin(3)>0
значит, и сумма положительная
а вот дальше надо смотреть....

кстати, за счет периодичности можно еще сократить немножко.

Да, на счет sin(1), sin(2) и т.д. я согласен.

Но ведь речь идет о сумме, и если дальше появляются большие (сравнительно) отрицательные числа, то они все остальные "затмевают".

В этой формуле можно перейти от суммы к ПРОИЗВЕДЕНИЮ, и тогда случаи для 1, 2, 3 можно не рассматривать.

особенно что ф-ла есть в учебнике и вывод теоретически не обязателен

Если не секрет, а какой учебник ты имеешь в виду??? А то вряд ли в обычных в учебниках для общеобразовательных школ такое есть. Я лично нашел формулу в старом-престаром задачнике по математике, который мне еще от деда достался.

[Забавная стервочка]

Там надо по порядку подставлять ВСЕ натуральные числа, начиная с 1, до тех пор, пока не найдется 5 выражений, которые были бы отрицательны.

А это - больше чем тридцать уравнений, или два с половиной листа А4.

если привести ф-лу к произведению и рассмотреть нер-во < 0 то есть либо первый множитель >0 а второй <0, либо наоборот. тогда для угла n/2 получаем нер-ва , рассматривая которые получается интервал в котором лежит n причем этот интервал зависит от целого числа тогда подставляя 5 получаем интервал а так как n целое то можно получить пятое в порядке возрастния n округляя пи.

Если не секрет, а какой учебник ты имеешь в виду??? А то вряд ли в обычных в учебниках для общеобразовательных школ такое есть. Я лично нашел формулу в старом-престаром задачнике по математике, который мне еще от деда достался.

Галицкий 8-9 углубленное изучение математики 1997 год нашла в школьной библиотеке

[lord_wil]

Нет, у меня не так. Формула, которую ты используешь, видимо, неправильная. Поставь задачу в Excel. Или если не веришь - посчитай в компе на калькуляторе.
sin1=0,8414709848078965066525023216303
sin2=0,90929742682568169539601986591174
sin3=0,14112000805986722210074480280811
sin4=-0,75680249530792825137263909451183
sin5=-0,95892427466313846889315440615599
sin1+sin2+sin3+sin4+sin5=0,17616164972237870388347348968233>0

Убедил???

[Забавная стервочка]

Убедил???

нет!!не вместо n подставлять а вместо другой целой (пусть будет k). эту k мы находим из периода так как sin-усы будут положительны (отриц) на интервале от 2"пи"k до пи + 2"пи"k (соответственно) потом преобразуем до интервала -1+2"пи"k до 2"пи"k где к целое. подставь вместо k 5 и получишь ответ...
Убедила?

[lord_wil]

Мы, видимо, понимаем задачу по-разному. Я понимаю ее так, что нам надо из всего множества A натуральных n, при которых sin1+sin2+sin3+...+sin(n)<0 найти то, которое стоит в этом множестве на ПЯТОМ месте.

Может, у тебя какой-то кардинально отличный метод, который позволяет найти число из множества A только по его номеру в этом множестве.

Короче, ответ n=31

Я готов выставить свою формулу и ее доказательство, но при сусловии, что и ты выставишь свою. И тут уж сразу будет видно, кто неправ.

Сообщение отредактировано: lord_wil - 27.01.2007 4:38

[Забавная стервочка]

да у меня отличный метод... я запросто выставлю формулу и доказательство... в какой форме?

[lord_wil]

Да в любой. Желательно - в gif

[Забавная стервочка]

у мя в файле все мои данные завтра сотру и разберемся, окей? хотя не оч ваще хочется светить решения пока все не отправили, так как задним числом уже 27 моих знакомых попытаются отправить!