простые числа, 1 простое число? Опции

[compiler]

является ли единица простым числом?
я искал и встречал разные мнения(раньше я думал что не простое и в википедии так написано... , но в Фаранове)...

[Lapp]

Википедия несколько более конкретно выражается на этот счет, чем ты упоминаешь.
Вот цитата оттуда:
В настоящее время в математике принято не относить единицу ни к простым, ни к составным числам. Последним из профессиональных математиков, кто рассматривал 1 как простое число, был Анри Лебег в 1899 году. При этом многие непрофессионалы совершают подобную ошибку и поныне: так, Карл Саган включил 1 в список простых чисел в своей книге «Контакт», вышедшей в 1985 году
И я абсолютно согласен с этим..

[compiler]

А в Фаранове при расмотрении решета Эратосфена в простые числа включается единица...
Вот цитата :

...PrimerSet:= [1]; {Первое простое число}...

И я сомневаюсь...

[helpmeplease]

Это-особенный вид числа!!!)

[UtaH]

Будь единица простым числом, каждое натуральное допускало бы бесконечное число разложений на простые множители, что противоречит основной теореме арифметики...

[Тёмный Эльф]

Анри Лебег прав..единица и есть самое простое из простых чисел! еще бы - оно делится не только на единицу ,но и на само себя.... дважды простое.... гы..

а если серьезно.. то это на самом деле противоречит основной теореме арифметики...

З.Ы. мой ответ Да.

[St@senk@]

вопрос из этой оперы, является ли i простым гауссовым.

Сообщение отредактировано: St@senk@ - 23.03.2007 3:27

[Ребус]

То что 1 не является простым числом очевидно, т.к. простые числа имеют два делителя : 1 и самого себя. Число же 1 имеет только один делитель.

[Lapp]

То что 1 не является простым числом очевидно, т.к. простые числа имеют два делителя : 1 и самого себя. Число же 1 имеет только один делитель.

Это очевидно, если принять определение, содержащее фразу "ровно два различных делителя" (см., например, Википедию). Но это бывает не всегда. Эта тема, по сути, и есть спор об определении.

[Чужак]

Это очевидно, если принять определение, содержащее фразу "ровно два различных делителя" (см., например, Википедию). Но это бывает не всегда. Эта тема, по сути, и есть спор об определении.

А в чем спор?
Спор этот имеет место только при определенных
логических и математических ограничениях.
Во первых, само понятие простых чисел имеет смысл только при делении нацело.
Для дробей оно теряет смысл.
Во вторых, тема заходит в тупик из-за применения формальной логики.
Т.е. простое число-такое, которое делится без остатка только на 1 и само себя.
Значит а) 1-простое число, т.к. делится без остатка на 1 и само себя.
б) 1 не простое число, т.к. делится только на 1.
Но современная математика выходит за пределы формальной логики,
и содержит уже элементы диалектики. Кому поcчастливится найти изданную в 1991г.
книгу "Неклассическая диалектика" Ю.Ротенфельда-могут об этом прочитать.
Там разбирается "Парадокс брадобрея"-БРЕЕТ ЛИ СЕБЯ БРАДОБРЕЙ, ЕСЛИ ОН БРЕЕТ ТЕХ,
И ТОЛЬКО ТЕХ, КТО НЕ БРЕЕТ СЕБЯ САМ.
Ответ-он себя бреет и не бреет-парадокс.
Математически он разрешается при помощи теории нечетких множеств-
есть множество А с нечеткими границами (те, кто сами бреются), и Б тоже с нечеткими
границами-(те, кто бреются у брадобрея)-и брадобрей, принадлежащий к обеим.
А четко, с точностью до миллионного знака после запятой, определить границы множеств
не представляется возможным практически, да и не надо.
Т.е. 1 принадлежит к нечеткому множеству целых чисел, и 1-принадлежит к
нечеткому множеству нецелых чисел. См.рисунок.
С-брадобрей или единица, член обеих нечетких множеств.
{.......нечеткое множество А........{С}......нечеткое множество Б.........}
Одна только беда-уровень проблемы, при её мнимой простоте, тянет на
уровень диплома по математике, а не все участники форума до него дотягивают.

Сообщение отредактировано: Чужак - 7.11.2008 19:25

[andriano]

Вообще-то, чтобы избежать ошибок, оределения для уже определенных понятий нужно не придумывать, а знать.
Согласно существующему определению, единица не относится ни к простым, ни к составным числам.
Никого ведь не удивляет, что ноль не относится ни к положительным, ни к отрицательным.

[-Дмитрий-]

Там разбирается "Парадокс брадобрея"-БРЕЕТ ЛИ СЕБЯ БРАДОБРЕЙ, ЕСЛИ ОН БРЕЕТ ТЕХ,
И ТОЛЬКО ТЕХ, КТО НЕ БРЕЕТ СЕБЯ САМ.
Ответ-он себя бреет и не бреет-парадокс.

Он себя не бреет
1. Он не бреет абсолютно всех, кто себя не бреет. Поэтому его бреет другой брадобрей.
2. Он может и не бриться вообще.

[Ян Корчмарюк]

Вопрос из области математики, арифметики, теории простых чисел. Спойлер: 1^1 - является простым числом. Известно, что в современной математике принято исключать 1 (единицу) из состава простых чисел. Но вопрос этот нетривиален, и не решен до сих пор. Все проблемы начинаются с непонимания того, что такое "быть делимым на самоё себя". Это - одноместный предикат в логике. У него есть формальный параметр икс, который, при связывании его термом, становится фактическим параметром, и предикат принимает численное логическое значение "истина" или "ложь". Например, для числа 2, "Быть делимым на самоё себя"(2) = истина, а для "Быть делимым на самоё себя"(3) = ложь. Аналогично, предикат "Быть единицей"(x). Для 1 предикат "Быть единицей"(1) = истина, а предикат "Быть единицей"(2) = ложь. Абсолютно логично и очевидно, что для 1 предикат "Быть единицей"(1) = истина, и предикат "Быть делимым на самоё себя"(1) = истина. Определение простого числа - это определение разложения числа на т.н. "тривиальные множители", то есть a*b = b*a = 1*c = c*1, где c - то самое "делитель
самоё себя". С точки зрения логики предикатов первого порядка, определение простого числа есть & - конъюнкция (логическое произведение) двух предикатов: "Быть делимым на 1"(x) & "Быть делимым на самоё себя"(x). Конъюнкция истинна, если истинны оба входящих в нее операнда. Очевидно, что для 1 определение истинно: [Быть делимым на 1(1) = истина] & Быть делимым на самоё себя(1) = истина] = истина. Таким образом, 1 абсолютно логично удовлетворяет определению простого числа. Таким образом, мы выяснили разницу: а) между 1, как исследуемым на простоту числом, б) 1, как элементом множества единиц, и в) 1, как элементом множества делителей самого себя. Это оказываются одинаковые по значению (количеству), но разные по смыслу (качеству) единицы! Теперь снимем заблуждение, связанное с произведением единиц, которое кочует из книги в книгу, из статьи в статью. Как в функции "арксинус", нам придется выделить "главное" Arcsin и "периодическое" arcsin значение функции. Главное значение показательной функции 1^n - это единица в степени единица, 1^1, оно и является простым числом. Оно, и только оно! Для любых других степеней при 1, бОльших 1, это уже составное число 1*1*1*1... И это - _разные_ числа, _разные_ единицы! Приведу наглядный физический смысл. 1 метр не равен 1 квадратному метру и не равен 1 кубическому метру, это разные размерности. Но никто не исключает из рассмотрения 1 метр, 1 кв. метр, и 1 куб. метр, из мер длины, площади и объема, на том лишь основании, что их численные значения 1 = 1 = 1. Окончательно сформулируем определение от Яна Корчмарюка: "Простым является всякое целое положительное и целое отрицательное число, кроме 0, и включая 1 в первой степени, которое делится только на 1 и на самоё себя. 1 в любой другой степени, большей 1, считается составным числом". Открытым для меня пока остается вопрос относительно единицы в нулевой степени. Вопрос: включить ли мне в определение простого числа - единицу в нулевой степени, или нет? Я склоняюсь к тому мнению, что - нет. Тут мне было бы интересно узнать мнение коллег.