Вначале выведем несколько равносильностей они нам пригодяться.
Коньюнкция через отрицание(*А) и дизъюнкцию (+). Из формулы *(А+В)=*А*В получаем АB=*(*A+*B)=**A**B=AB (1)
Дизюнкция через коньюнкцию и отрицание. Из формулы *(AB)=*A+*B получаем А+В=*(*А*В)=**А+**В=А+В (2)
Дизъюнкция через отрицание и импликацию. Из формулы А=>B=*A+B получаем A+B=*А=>B=**A+B=A+B (3)
Дано: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание. [I] Доказательство: По А=>B=*A+B, далее А<=>B=(A=>B)(B=>A)
Далее задачи будет необходимо и достаточно свести к заданному набору [I]. Ведь если мы доказали, что данную операцию можно заменить, то значит мы можем ей пользоваться (ввиду того, что она всегда может быть раскрыта через основные 3). Дано: равносильность, импликация, отрицание. Доказательство: На первом шаге задаем по формуле (3) получаем дизъюнкцию, далее по формуле (1) выводим конъюнкцию.
Дано: дизъюнкция, импликация, отрицание. Доказательство: На первом шаге пользуемся (1) получаем конъюнкцию, далее по набору [I]
Дано: дизюнкция, равносильность, отрицание. Доказательство: На первом шаге пользуемся (1) получаем конъюнкцию, далее по набору [I]
Дано: конъюнкция, равносильность, отрицание. Доказательство: На первом шаге пользуемся (2) получаем дизъюнкцию, далее по набору [I].
Дано: конъюнкция, импликация, отрицание. Доказательство: На первом шаге пользуемся (2) получаем дизъюнкцию, далее по набору [I].
Т. е. Все четыре элемента (дизъюнкция, конъюнкция, равносильность и импликация) "взаимо заменяемые", в дальнейшем, при изучении мат логики вы это увидите.
По поводу отрицания, могу лишь сказать, что выразить его через какие-либо выражения в принципе не реально (т. к. это унарная операция, а все остальные бинарные). Доказать это просто. Т. к. у нас нет отрицания, то надо рассмотреть всего четыре операции.
А+А=А АА=А А=>А=1 A<=>A=1
Далее пользуясь представлениями последних двух равносильностей, видно, что А+1=1 А1=А, что возможность "обратить" не имеет смысла, т. к. при импликации и равносильности А принимает тождественное истинное значение, а конюкция и дизъюнкция принимает равносильные значения. Т. е. как бы выражение А не было сложно задано, мы всегда приходим к значению А или тождественно 1, что естественно не верно.
Поэтому все комбинации без отрицания не смогут выразить другие.
|