геометрические приложения определённого интеграла Опции

[18192123]

1. вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах:
r = 5/2sinx
r=3/2sinx
пределы у меня получились от 0 до pi, а ответ 2pi
проверьте, это правильный ответ?

2. вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.
x = 2^1/2 * cost
y = 4*(2)^1/2 * sint
y = 4, (y >= 4)
чтобы найти пределы интегрирования решала уравнение: 4=4*(2)^1/2 * sint
t = (-1)^k*pi/4 + pi*k, но так и не поняла, какие пределы нужно брать....

3. вычислить объём тела, полученного вращением фигуры
х = 3^1/2 * cost
y = 2 * sint
вокруг оси оу

какие здесь пределы интегрирования?

4. вычислить длину дуги кривой, заданной в полярной системе координат:
p = 5 * (e)^5x/12, -pi/2 <= x <= pi/2
меня смущает ответ, который у меня получился....

[18192123]

остался только пункт 3 , с остальным разобралась.
Скажите пожалуйста, какие там пределы? ( у меня получается от 0 до пи, но я не уверена)

[Lapp]

остался только пункт 3 , с остальным разобралась.
Скажите пожалуйста, какие там пределы? ( у меня получается от 0 до пи, но я не уверена)

Здесь специфика в том, что тебе нужна не площадь, а объем фигуры вращения, то реально тебе надо найти не интеграл самой функции, а вот такую штуку:

S Pi*x^2*dy
(большая толстая S означает интеграл)

Что же касается пределов интегрирования (по t), то я бы взял от -Пи/2 до +Пи/2

[18192123]

Что же касается пределов интегрирования (по t), то я бы взял от -Пи/2 до +Пи/2

а почему так?

[Lapp]

а почему так?

Ты нарисуй эту фигуру и увидишь. Вращением правой половины мы получаем весь объем.

[18192123]

S Pi*x^2*dy
(большая толстая S означает интеграл)

но мы ведь вращаем вокруг оси ОУ, а для этого случая я знаю формулу
S 2*Pi*х(t)*у(t)*dх - с учётом параметрической формы..... но если я так вычисляю - получаю -4Pi..... я не права?

Сообщение отредактировано: 18192123 - 29.04.2007 0:33

[Lapp]

мы ведь вращаем вокруг оси ОУ, а для этого случая я знаю формулу
S 2*Pi*х(t)*у(t)*dх

Ну, можно и так, да. Думаю, ответы должны совпасть . Но только тогда нужно отдельно интегрировать две ветви (отрицательные у и положительные у), мне кажется..

Я могу пояснить, как я сделал свою формулу. Из рисунка все ясно:

Я извиняюсь, что случайно переделал t в a..

Говори, что непонятно.

[18192123]

Но только тогда нужно отдельно интегрировать две ветви (отрицательные у и положительные у), мне кажется..

что ты имеешь в виду?

[Lapp]

что ты имеешь в виду?

То, что при параметрическом задании Y не является вообще говоря функцией X, так как одному значению Х соответствуют несколько значений Y (зеленая и синяя ветви на рисунке). Сответственно, объемы этих двух частей надо считать отдельно, а потом сложить.