МатАн и ЭлМа, матанализ и элементарная математика Опции

[Evyn]

Помогите плиз!!

1.)
Непосредственно используя определение предела последовательности, доказать, что

lim (5*(3^n)) / ((3^n)-2) = 5
n->беск.


2.)
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности


X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural


3.)
Доказать, что последовательность X-n = 3^(n*(-3)^n) де имеет предела


4.)
Исследовать, какие из написанных последовательностей неограниченные(но не являются бесконечно большими), какие бесконечно большие и, если есть, описать прочие случаи:

а) X-n = (1+(-1)^n)Log_2(n) ; б) X_n = n^2 (1+cos((Pi*n)/3) ; в) X_n=(2^n)/2 ;


5.)
Используя критерий Коши доказать сходимость последовательности

n
X_n = Summa (Sin k) / (7^k + 2) ;
k=1


6.) Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности:

n
X_n = Summa 1 / (k*(3^(k-1)) ;
k=1




7.)
Найти сумму корней уравнения


(sin( 3x / 2 ) - cos( 3x / 2))^2 = 1 - sin(5x)
принадлежащие отрезку [0 ; 90]

Сообщение отредактировано: Evyn - 12.11.2007 1:54

[Evyn]

Если не затруднит, подскажите хотя-бы один, спасибо.

[Lapp]

А ты скажи, с чем именно у тебя трудности. Что не получается?

[Evyn]

А ты скажи, с чем именно у тебя трудности. Что не получается?

Ну о 1-м, возможно доказать что lim(n->беск.) 1/n = 0 или lim(n->беск.) 1/2^n =0 тоже. Но что может являтся доказательстовом в этом примере?

Как вариант бесконечно много подставлять значения вместо n и найти приблизительный ответ? Или же существуют более гуманные методы?

В задании требуется доказать по определению предела последовательности
-----------------------
Пусть каждому натуральному числу nпоставленно в соответствии накоторое действительное число a(с индексом n) (при этом разным натуральным числам n могут оказаться поставленными в соответствие и одимнаковые числа). Совокупность элементов a(с индексом n), а=1,2,..., называется числовой последовательностью, или просто последовательностью; каждый элемент a(с индексом n) называется элементом или членом этой последовательности, а число n - его номером.
-----------------------

Из определение понятно лишь то, что n - это есть порядковый номер числа a.

Добавлено через 9 мин.

А ты скажи, с чем именно у тебя трудности. Что не получается?

из 2-го
X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural
можно нарисовать такое
lim ((3^n)+1) / ((6^n)+2) != 1
n->беск.
стало быть нужно найти значение этого предела и поаказать, что оно не равно единице
----------------------------
Вообще трудности в вычислении предела, где n->беск. . Вот когда n стремится к какому-то числу, там понятно. Упрощается пример и подставляется вместо n значение, к которому оно стремится и ответ становится очевиден. Но как грамотно найти значение предела, когда n->беск?

Добавлено через 5 мин.
================================================================
================================================================

в 3-м получается примерно тоже самое, что и во 2-м:
Доказать, что последовательность X-n = 3^(n*(-3)^n) не имеет предела
lim 3^(n*(-3)^n)
n->беск.
не имеет предела
-----------
впринципе и так понятно, что последовательность расходящаяся, а как это правильно записать, что она такова?

Добавлено через 11 мин.
================================================================
================================================================
в 4-м нужно исследовать.
------------------------------------
Вообще по моему все примеры из "одной оперы". В учебнике както смутно все это описано. понятно что n - это есть порядковый номер числа а. Это можно с легкостью сказать про любой из этих примеров. Но алгоритм решения этих примеров и нахождения их пределов по прежнему остается загадкой.
------------------------------------

[Lapp]

В задании требуется доказать по определению предела последовательности
-----------------------
Пусть каждому натуральному числу
...,
называется числовой последовательностью, или просто последовательностью
-----------------------
Из определение понятно лишь то, что n - это есть порядковый номер числа a.

Просто ты привел не то определение. В задаче имелось в виду определение предела, а ты привел определение последовательности, которое тут ни к чему (почти).
Найди определение предела и приведи его тут, а мы покажем тебе, как им воспользоваться.

[Evyn]

(определение предела последовательности). Число A называется пределом последовательности xn, если

для всех U (A) существует N : для всех n > N х(с индексом n) содержащикхся в U(A)


или

для всех "эпсилон" > 0 существует N : для всех n > N /х(с инд n) - A/ < "эпсилон"

[Lapp]

Первый вариант у тебя немного путанный, давай воспользуемся вторым:

для всех "эпсилон" > 0 существует N : для всех n > N /х(с инд n) - A/ < "эпсилон"

Итак, для любого Е>0 (так я буду обозначать "эпсилон") надо найти такое N, чтобы для всех n>N выполнялось неравенство |Xn-A|<E

Для доказательства мы должны взять некоторое число А за предполагаемый предел. В данном случае оно нам дано, то есть А=5. Теперь запишем то неравенство, которое фигурирует в определении, для нашего частного случая:

|5*3^n/(3^n-2) - 5| < E

3^n всегда больше 2, то есть знаменатель в дроби всегда положителен, и еще можно сказать, что он меньше 3^n. Это означает, что

0 < 3^n/(3^n-2) < 1 .

Таким образом, выражение под модулем всегда меньше нуля. Теперь снимем модуль. Получаем:

5 - 5*3^n/(3^n-2) < E

Теперь домножим все неравенство на 3^n-2 (оно больше нуля, так что можно).

5*3^n - 5*2 -5*3^n < E*3^n - 2*E

Левая часть упрощается:

-5*2 < E*3^n - 2*E

Последний член переносим вправо:

2*E - 5*2 < E*3^n

Теперь все делим на Е (оно больше нуля, так что можно)

2 - 10/E < 3^n

Логарифмируем обе части:

Log3(2-10/E) < n

(здесь Log3 - это логарифм по основанию 3).
Таким образом, мы нашли, что при n > Log3(2-10/E) нужное нам неравенство верно. Положим N равным первому целому, превосходящему Log3(2-10/E). При всех n>N наше неравенство все равно будет выполняться. Значит, мы нашли то самое N, о котором говорилось в определении, и выполнили условия определения предела последовательности (при n>N члены последовательности отличаются от 5 не больше, чем на Е). Значит, 5 является пределом этой последовательности. Ч.Т.Д.

[Evyn]

Уау!!!
Спасибо, буду разбираться далше.
Будете в Екатеринбурге - с меня пиво

[Lapp]

буду разбираться далше.

Давай. Принцип в целом одинаковый: нужно, используя то неравенство, по Е найти N.
Будь острожен со снятием модуля. В разобранном случае последовательность стремилась к пределу с одной стороны, поэтому разность была всегда одного знака. Но бывает и иначе..
Если неясно - спрашивай.

[Evyn]

Поясните пожалуйста, почему выражения эквивалентны
|5*3^n/(3^n-2) - 5| < E ~ 5 - 5*3^n/(3^n-2) < E
И как получается, что при извлечении из модуля 5*3^n/(3^n-2) вычитать надо из 5, а не 5 из 5*3^n/(3^n-2) ?
------------------------------
к слову:
Чем является Е? Извсетно лишь то, что A-E < Xn < A+E

[Lapp]

Поясните пожалуйста, почему выражения эквивалентны
|5*3^n/(3^n-2) - 5| < E ~ 5 - 5*3^n/(3^n-2) < EИ как получается, что при извлечении из модуля 5*3^n/(3^n-2) вычитать надо из 5, а не 5 из 5*3^n/(3^n-2) ?

Вижу, что ты не понимаешь до конца, что такое модуль. Чтобы ты разобрался наилучшим образом, я снова заставлю тебя поработать. Напиши здесь определение модуля (как операции или функции). Можешь написать, как сам его понимаешь. Либо, если не сможешь - выпиши из учебника или найди в Инете. Тогда продолжим (если не поймешь к тому времени )

Чем является Е? Извсетно лишь то, что A-E < Xn < A+E

А вот это как раз главный момент, в этом необходимо разобраться до конца.

Е (эпсилон) - это то, что задает Дядя. А твоя задача (соответственно определению) состоит в том, чтобы по его, Дядиному эпсилону найти подходящее N. Понимаешь? Это типа игра такая. Дядя задает любые мыслимые эпсилоны - а ты находишь для них такие N, чтобы члены с номерами, большими этого N, разнились с предполагаемым пределом не больше, чем на это эпсилон. Если тебе удастся это сделать для всех Дядиных эпсилонов - ты выиграл, и проверяемое число (А) действительно есть предел этой последовательности. Если не удастся - выиграл Дядя.. и либо А не есть предел этой последовтельности, либо ты не получишь зачет..

Конечно, Дядя постарается максимально затруднить тебе задачу. Поэтому он будет как можно больше сужать ту область, куда тебе надо загонять хвост последовательности выбором N. То есть он будет стараться задавать эпсилон как можно меньше (но по правилам игры, то есть по определению, ему нельзя задавать эпсилон равным нулю или меньше нуля!). По сути, игра закончится твоим выигрышем (то есть доказательством, что А есть предел), если ты дашь Дяде формулу, которая выдает N в зависимости от Е. Это как раз и есть то, что мы сделали. Мы нашли такую формулу, которая для любого (скольк угодно малого) эпсилон способна дать N (которое, конечно, будет тем больше, чем меньше Е - проверь!) такое, что хвост последовательности за N весь влезает в эпсилон-окрестность точки А.

Понятно?

[Evyn]

RE: модуль :
Модулем действительного числа a по определению называется само это число, если a ≥ 0, если же a < 0, то модулем такого числа называют число –a.


RE: Е (эпсилон) - это то, что задает Дядя.
то есть Е - это любое действительное число, которое по определению больше N

[Lapp]

Модулем действительного числа a по определению называется само это число, если a ≥ 0, если же a < 0, то модулем такого числа называют число –a.

Верно.
Погоди-ка.. Кажется, я ошибся в рассчетах . У меня почему-то получилось, что выражение под модулем меньше нуля (и потому я сменил знак при снятии модуля), а оно на самом деле больше нуля, и знак менять не нужно.. Извиняюсь.. Давай посмотрим, как это скажется на доказательстве. Ниже я скопировал кусок из доказательства и исправил его. По ходу дела нашел и исправил еще пару ошибок..
(Исправленное доказательство выделено курсивом)

|5*3^n/(3^n-2) - 5| < E

3^n всегда больше 2, то есть знаменатель в дроби всегда положителен, и еще можно сказать, что он меньше 3^n. Это означает, что

1 < 3^n/(3^n-2)

Таким образом, выражение под модулем всегда больше нуля. Теперь снимем модуль (не меняя знака). Получаем:

5*3^n/(3^n-2) - 5 < E

Теперь домножим все неравенство на 3^n-2 (оно больше нуля, так что можно).

5*3^n - 5*3^n + 5*2 < E*3^n - 2*E

Левая часть упрощается:

5*2 < E*3^n - 2*E

Последний член переносим вправо:

2*E + 5*2 < E*3^n

Теперь все делим на Е (оно больше нуля, так что можно)

2 + 10/E < 3^n

Логарифмируем обе части:

Log3(2+10/E) < n

(здесь Log3 - это логарифм по основанию 3).
Таким образом, мы нашли, что при n > Log3(2+10/E) нужное нам неравенство верно. Положим N равным первому целому, превосходящему Log3(2+10/E). При всех n>N наше неравенство все равно будет выполняться. Значит, мы нашли то самое N, о котором говорилось в определении, и выполнили условия определения предела последовательности (при n>N члены последовательности отличаются от 5 не больше, чем на Е). Значит, 5 является пределом этой последовательности. Ч.Т.Д.

Еще раз извиняюсь за ошибки. Спасибо тебе, что не копировал бездумно!
Теперь переходим к эпсилон..

RE: Е (эпсилон) - это то, что задает Дядя.
то есть Е - это любое действительное число, которое по определению больше N

Нет. Е - это любое число, большее нуля. Оно не может сравниваться с N. Давай разберем работу определения на более простом примере..

Дана последовательность: Ai = 1/i
То есть такая: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
Ее члены уменьшаются и в целом ясно, что они приближаются к нулю, то есть предел этой последовательности равен нулю. Но давай проведем док-во этого по определению.
1. Мы предполагаем, что предел этой последовательности равен 0.
2. Для доказательства мы должны быть готовы сказать Дяде, когда он даст нам Е, какое ему нужно взять N, чтобы все члены последовательности за этим N отличались от предела (то есть, в данном случае, от нуля) не больше, чем Е.
3. Игра начинается..
4. Дядя говорит: мое Е=5. Какое будет ваше N?
5. Мы отвечаем: наше N=1. Все члены последовательности меньше пяти, даже самый первый!
6. Дядя говорит: да, члены последовательности маленькие... Я вижу, что вы записали: там и одна вторая, и одна треть, и даже одна четверть. Это маленькие числа, но все же не очень.. Вот, допустим, я беру Е=0.1. Что, съели?
7. Мы отвечаем: съели, вкусно. Наше N=10. За этим номером идут такие члены: 1/11, 1/12, 1/13 ... Все они меньше, чем 0.1
8. Дядя ухмыляется: а если я возьму Е=0.000001 ?? Сможете вы найти такое N, чтоб весь хвост за ним был меньше Е?
9. Да, отвечаем, сможем. Наше N=1000000. Члены за ним равны: 1/1000001, 1/1000002, 1/1000003, ... - и они все меньше, чем 0.000001
10. Дядя: ну если я...
11. Мы перебиваем: Дядя, не трудись. Какое бы Е ты ни взял, даже очень маленькое, мы всегда сможем найти такое N, хвост за которым весь меньше твоего Е. Мы просто возьмем N равное первому целому, большему чем 1/E.
12. Дядя: я сдаюсь, проиграл. Похоже, эта последовательность действительно стремится к нулю..

Понятно? Для этого простого примера формула такая: N > 1/E.
Важно: мы угадали значение предела, это было нетрудно. Но если представить себе, что мы ошиблись и попытались бы доказать, что предел этой последовательности равен, скажем, 1, то ничего бы не вышло. Разности |1/i - 1| не становились бы маленькими, какое бы большое N мы ни взяли.. Предел у последовательности, если он есть - только один-единственный!

Стало понятнее? Попробуй решить аналогичный пример из того списка и покажи тут свое решение.

[Evyn]

Про 7.)
Найти сумму корней уравнения
(sin( 3x / 2 ) - cos( 3x / 2))^2 = 1 - sin(5x)
принадлежащие отрезку [0 ; 90]

Взгляните пожалуйста на решение:

(sin( 3x / 2 ) - cos( 3x / 2))^2 = 1 - sin(5x) <=>
1-sin(3x)=sin(5x) <=>
-------------------------------------------
sin(alpha)-sin(betha)=2 sin((alpha+betha)/2) cos((alpha-betha)/2) ; x=(alpha+betha)/2 ; y=(alpha-betha)/2 ;
sin(x+y)-sin(x-y)=2 cos x sin y= 2 sin((alpha-betha)/2) cos((alpha+betha)/2)
-------------------------------------------
sin x cos 4x=0 <=>
[x= Pi k ; x=( Pi/8) +( (Pi k)/4) K-целые
(знак U перевернутый - обьединение) [0 ; Pi/2]
=>0 , Pi/8 , (3 Pi)/8 - ответ их сумма = Pi/2

Спасибо.

Сообщение отредактировано: Evyn - 13.11.2007 1:06

[Evyn]

Решаю пример 2:
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности
X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural

-I-
| (((3^n)+1) / ((6^n)+2)) -1| <E

-II-
1 < (3^n / ((6^n)+2)

-III-
(((3^n)+1) / ((6^n)+2)) -1 <E | * ((6^n)+2))

-IV-
(3^n)+1-(6^n)+2 < E((6^n)+2)

-V-
-3^n + 3 < E * 6^n + 2*E

-VI-
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n

далее наступают сомнения
------------------------------------------------------
ВариантРешения1:
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n можно сократить 3^n и 6^n, тогда получится

2*E - 1 + 3 < E * 3^n (то что умножалось на n сократилось)

(2 - 1 + 3)/E < 3^n => 4/E< 3^n

ВариантРешения2:
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n так и оставить

(2 - 3^n + 3)/E < 6^n => (1- 3^n)/E< 6^n
------------------------------------------------------

-VII-
Если смотреть по ВариантРешения1 то получается Log3(4/E)<n


Проверка:

Задаем самопроизвольно Е=0,5
Log3(4/0,5)<n
Log3(8)<n
~2 > n (Ч.Т.Д. если ВариантРешения1 истино)!

Сообщение отредактировано: Evyn - 13.11.2007 1:10

[Гость]

-II-
1 < (3^n / ((6^n)+2)

С чего ты это взял? Неверно (повторяешь мои ошибки:? )

Нужно делать так.
Берешь общий член последовательности:
((3^n)+1) / ((6^n)+2)
Всматриваешься. Видишь, что знаменатель всегда больше числителя. Значит, дробь всегда меньше единицы. Причем, чем болье n, тем меньше число. Посмотрим, чему равен первый член последовательности:
((3^1)+1) / ((6^1)+2) = 4/7
, то есть даже первый член заметно меньше 1, а остальные и еще того меньше.

Что нужно сделать, чтоб доказать, что число А не является пределом? Определение предела говорит, что ДЛЯ ЛЮБОГО эпсилон должно выполняться некое условие. Значит, чтоб определение НЕ было выполнено, нужно найти ХОТЯ БЫ ОДНО эпсилон, для которого условие не выполняется (т.е. найти такое N невозможно).

Наша задача - найти такое Е. Из примера мы видим, что достаточно взять Е=3/7, например. Или любое меньшее число. Типа, 0.1. То есть нужно доказать, что

|((3^n)+1) / ((6^n)+2) - 1| > 0.1

Снимаем модуль (со сменой знака, т.к. уменьшаемое меньше 1):

1 - ((3^n)+1) / ((6^n)+2) > 0.1

0.9 > ((3^n)+1) / ((6^n)+2)

Вот это нужно доказать. Сможешь?

[Гость]

Тригонометрию я бы на твоем месте выделил в отдельную тему..

Это и предыдущее сообщения - мои.
-- Lapp

[Гость]

Вот это нужно доказать. Сможешь?
===========================
По моему мнению, нужно найти

lim((3^n)+1) / ((6^n)+2)
n->(беск.)

и сравнить его с заданным А. Но дело в том, что не очень ясно как его найти.

[Гость]

======================
единственное, что приходит в голову, это

lim((3^n)+1) / ((6^n)+2) =
n->(беск.)

=
lim((3^n)+1) / (2((3^n)+1))
n->(беск.)

что делать дальше ума не приложу.
-I-
Если только сократить ((3^n)+1) в числителе и 2 в знаменателе

тогда получится

lim 1 / ((3^n)+1)
n->(беск.)

-II-
Или представить все

lim( ((3+1)^n) / ( 2((3+1)^n) )
n->(беск.)

тогда ((3+1)^n) сократится и останится 1/2