МатАн и ЭлМа, матанализ и элементарная математика Опции

[Evyn]

Помогите плиз!!

1.)
Непосредственно используя определение предела последовательности, доказать, что

lim (5*(3^n)) / ((3^n)-2) = 5
n->беск.


2.)
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности


X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural


3.)
Доказать, что последовательность X-n = 3^(n*(-3)^n) де имеет предела


4.)
Исследовать, какие из написанных последовательностей неограниченные(но не являются бесконечно большими), какие бесконечно большие и, если есть, описать прочие случаи:

а) X-n = (1+(-1)^n)Log_2(n) ; б) X_n = n^2 (1+cos((Pi*n)/3) ; в) X_n=(2^n)/2 ;


5.)
Используя критерий Коши доказать сходимость последовательности

n
X_n = Summa (Sin k) / (7^k + 2) ;
k=1


6.) Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности:

n
X_n = Summa 1 / (k*(3^(k-1)) ;
k=1




7.)
Найти сумму корней уравнения


(sin( 3x / 2 ) - cos( 3x / 2))^2 = 1 - sin(5x)
принадлежащие отрезку [0 ; 90]

Сообщение отредактировано: Evyn - 12.11.2007 1:54

[Evyn]

(определение предела последовательности). Число A называется пределом последовательности xn, если

для всех U (A) существует N : для всех n > N х(с индексом n) содержащикхся в U(A)


или

для всех "эпсилон" > 0 существует N : для всех n > N /х(с инд n) - A/ < "эпсилон"

[Lapp]

Первый вариант у тебя немного путанный, давай воспользуемся вторым:

для всех "эпсилон" > 0 существует N : для всех n > N /х(с инд n) - A/ < "эпсилон"

Итак, для любого Е>0 (так я буду обозначать "эпсилон") надо найти такое N, чтобы для всех n>N выполнялось неравенство |Xn-A|<E

Для доказательства мы должны взять некоторое число А за предполагаемый предел. В данном случае оно нам дано, то есть А=5. Теперь запишем то неравенство, которое фигурирует в определении, для нашего частного случая:

|5*3^n/(3^n-2) - 5| < E

3^n всегда больше 2, то есть знаменатель в дроби всегда положителен, и еще можно сказать, что он меньше 3^n. Это означает, что

0 < 3^n/(3^n-2) < 1 .

Таким образом, выражение под модулем всегда меньше нуля. Теперь снимем модуль. Получаем:

5 - 5*3^n/(3^n-2) < E

Теперь домножим все неравенство на 3^n-2 (оно больше нуля, так что можно).

5*3^n - 5*2 -5*3^n < E*3^n - 2*E

Левая часть упрощается:

-5*2 < E*3^n - 2*E

Последний член переносим вправо:

2*E - 5*2 < E*3^n

Теперь все делим на Е (оно больше нуля, так что можно)

2 - 10/E < 3^n

Логарифмируем обе части:

Log3(2-10/E) < n

(здесь Log3 - это логарифм по основанию 3).
Таким образом, мы нашли, что при n > Log3(2-10/E) нужное нам неравенство верно. Положим N равным первому целому, превосходящему Log3(2-10/E). При всех n>N наше неравенство все равно будет выполняться. Значит, мы нашли то самое N, о котором говорилось в определении, и выполнили условия определения предела последовательности (при n>N члены последовательности отличаются от 5 не больше, чем на Е). Значит, 5 является пределом этой последовательности. Ч.Т.Д.