МатАн и ЭлМа, матанализ и элементарная математика Опции

[Evyn]

Помогите плиз!!

1.)
Непосредственно используя определение предела последовательности, доказать, что

lim (5*(3^n)) / ((3^n)-2) = 5
n->беск.


2.)
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности


X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural


3.)
Доказать, что последовательность X-n = 3^(n*(-3)^n) де имеет предела


4.)
Исследовать, какие из написанных последовательностей неограниченные(но не являются бесконечно большими), какие бесконечно большие и, если есть, описать прочие случаи:

а) X-n = (1+(-1)^n)Log_2(n) ; б) X_n = n^2 (1+cos((Pi*n)/3) ; в) X_n=(2^n)/2 ;


5.)
Используя критерий Коши доказать сходимость последовательности

n
X_n = Summa (Sin k) / (7^k + 2) ;
k=1


6.) Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности:

n
X_n = Summa 1 / (k*(3^(k-1)) ;
k=1




7.)
Найти сумму корней уравнения


(sin( 3x / 2 ) - cos( 3x / 2))^2 = 1 - sin(5x)
принадлежащие отрезку [0 ; 90]

Сообщение отредактировано: Evyn - 12.11.2007 1:54

[Evyn]

Поясните пожалуйста, почему выражения эквивалентны
|5*3^n/(3^n-2) - 5| < E ~ 5 - 5*3^n/(3^n-2) < E
И как получается, что при извлечении из модуля 5*3^n/(3^n-2) вычитать надо из 5, а не 5 из 5*3^n/(3^n-2) ?
------------------------------
к слову:
Чем является Е? Извсетно лишь то, что A-E < Xn < A+E

[Lapp]

Поясните пожалуйста, почему выражения эквивалентны
|5*3^n/(3^n-2) - 5| < E ~ 5 - 5*3^n/(3^n-2) < EИ как получается, что при извлечении из модуля 5*3^n/(3^n-2) вычитать надо из 5, а не 5 из 5*3^n/(3^n-2) ?

Вижу, что ты не понимаешь до конца, что такое модуль. Чтобы ты разобрался наилучшим образом, я снова заставлю тебя поработать. Напиши здесь определение модуля (как операции или функции). Можешь написать, как сам его понимаешь. Либо, если не сможешь - выпиши из учебника или найди в Инете. Тогда продолжим (если не поймешь к тому времени )

Чем является Е? Извсетно лишь то, что A-E < Xn < A+E

А вот это как раз главный момент, в этом необходимо разобраться до конца.

Е (эпсилон) - это то, что задает Дядя. А твоя задача (соответственно определению) состоит в том, чтобы по его, Дядиному эпсилону найти подходящее N. Понимаешь? Это типа игра такая. Дядя задает любые мыслимые эпсилоны - а ты находишь для них такие N, чтобы члены с номерами, большими этого N, разнились с предполагаемым пределом не больше, чем на это эпсилон. Если тебе удастся это сделать для всех Дядиных эпсилонов - ты выиграл, и проверяемое число (А) действительно есть предел этой последовательности. Если не удастся - выиграл Дядя.. и либо А не есть предел этой последовтельности, либо ты не получишь зачет..

Конечно, Дядя постарается максимально затруднить тебе задачу. Поэтому он будет как можно больше сужать ту область, куда тебе надо загонять хвост последовательности выбором N. То есть он будет стараться задавать эпсилон как можно меньше (но по правилам игры, то есть по определению, ему нельзя задавать эпсилон равным нулю или меньше нуля!). По сути, игра закончится твоим выигрышем (то есть доказательством, что А есть предел), если ты дашь Дяде формулу, которая выдает N в зависимости от Е. Это как раз и есть то, что мы сделали. Мы нашли такую формулу, которая для любого (скольк угодно малого) эпсилон способна дать N (которое, конечно, будет тем больше, чем меньше Е - проверь!) такое, что хвост последовательности за N весь влезает в эпсилон-окрестность точки А.

Понятно?