МатАн и ЭлМа, матанализ и элементарная математика Опции

[Evyn]

Помогите плиз!!

1.)
Непосредственно используя определение предела последовательности, доказать, что

lim (5*(3^n)) / ((3^n)-2) = 5
n->беск.


2.)
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности


X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural


3.)
Доказать, что последовательность X-n = 3^(n*(-3)^n) де имеет предела


4.)
Исследовать, какие из написанных последовательностей неограниченные(но не являются бесконечно большими), какие бесконечно большие и, если есть, описать прочие случаи:

а) X-n = (1+(-1)^n)Log_2(n) ; б) X_n = n^2 (1+cos((Pi*n)/3) ; в) X_n=(2^n)/2 ;


5.)
Используя критерий Коши доказать сходимость последовательности

n
X_n = Summa (Sin k) / (7^k + 2) ;
k=1


6.) Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности:

n
X_n = Summa 1 / (k*(3^(k-1)) ;
k=1




7.)
Найти сумму корней уравнения


(sin( 3x / 2 ) - cos( 3x / 2))^2 = 1 - sin(5x)
принадлежащие отрезку [0 ; 90]

Сообщение отредактировано: Evyn - 12.11.2007 1:54

[Evyn]

Решаю пример 2:
Доказать, что число а=1 не является пределом последовательности
X_n = ((3^n)+1) / ((6^n)+2), n - Natural

-I-
| (((3^n)+1) / ((6^n)+2)) -1| <E

-II-
1 < (3^n / ((6^n)+2)

-III-
(((3^n)+1) / ((6^n)+2)) -1 <E | * ((6^n)+2))

-IV-
(3^n)+1-(6^n)+2 < E((6^n)+2)

-V-
-3^n + 3 < E * 6^n + 2*E

-VI-
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n

далее наступают сомнения
------------------------------------------------------
ВариантРешения1:
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n можно сократить 3^n и 6^n, тогда получится

2*E - 1 + 3 < E * 3^n (то что умножалось на n сократилось)

(2 - 1 + 3)/E < 3^n => 4/E< 3^n

ВариантРешения2:
2*E - 3^n + 3 < E * 6^n так и оставить

(2 - 3^n + 3)/E < 6^n => (1- 3^n)/E< 6^n
------------------------------------------------------

-VII-
Если смотреть по ВариантРешения1 то получается Log3(4/E)<n


Проверка:

Задаем самопроизвольно Е=0,5
Log3(4/0,5)<n
Log3(8)<n
~2 > n (Ч.Т.Д. если ВариантРешения1 истино)!

Сообщение отредактировано: Evyn - 13.11.2007 1:10

[Гость]

-II-
1 < (3^n / ((6^n)+2)

С чего ты это взял? Неверно (повторяешь мои ошибки:? )

Нужно делать так.
Берешь общий член последовательности:
((3^n)+1) / ((6^n)+2)
Всматриваешься. Видишь, что знаменатель всегда больше числителя. Значит, дробь всегда меньше единицы. Причем, чем болье n, тем меньше число. Посмотрим, чему равен первый член последовательности:
((3^1)+1) / ((6^1)+2) = 4/7
, то есть даже первый член заметно меньше 1, а остальные и еще того меньше.

Что нужно сделать, чтоб доказать, что число А не является пределом? Определение предела говорит, что ДЛЯ ЛЮБОГО эпсилон должно выполняться некое условие. Значит, чтоб определение НЕ было выполнено, нужно найти ХОТЯ БЫ ОДНО эпсилон, для которого условие не выполняется (т.е. найти такое N невозможно).

Наша задача - найти такое Е. Из примера мы видим, что достаточно взять Е=3/7, например. Или любое меньшее число. Типа, 0.1. То есть нужно доказать, что

|((3^n)+1) / ((6^n)+2) - 1| > 0.1

Снимаем модуль (со сменой знака, т.к. уменьшаемое меньше 1):

1 - ((3^n)+1) / ((6^n)+2) > 0.1

0.9 > ((3^n)+1) / ((6^n)+2)

Вот это нужно доказать. Сможешь?