Предел, график Опции

[Айра]

Привет!
Собственно вопрос: а сам предел функции может как-то изображаться на графике?
Например lim(x->0)cosx как может выглядеть? Просто прямая линия по y=1? как-то слишком просто..

Какие будут идеи?)))

[andriano]

Обычно изображается именно прямой (принято пунктирной) линией.

[Yevgeny]

нам вроде бы тоже так говорили на лекциях

[Lapp]

lim(x->0)cosx как может выглядеть? Просто прямая линия по y=1?

Айра, не путай Божий дар с яичницей. Предел - это не функция, это число. В обозначении предела (например, возьмем то выражение, которое ты написала) есть аж два икса, но это все-таки не есть аргумент функции. Перечитай формальное определение предела, и ты убедишься, что это не есть функция. Точнее, это есть функция, но определенная только в одной точке - в том х0, к которому стремится х. Так что предел на графике изобразится одной точкой. В твоем примере это точка (0,1).

[Yevgeny]

А если в пределе будет, допустим, бесконечность, то как тогда в этом случае его изобразишь? точкой вроде бы уже не выйдет...

Добавлено через 7 мин.
Я считаю, предел при x-->x0 можно изобразить точкой только тогда, когда функция непрерывна в точке x0, а если нет, то асимптотой!!!

[Lapp]

А если в пределе будет, допустим, бесконечность, то как тогда в этом случае его изобразишь? точкой вроде бы уже не выйдет...

Невозможность изобразить бесконечность - это недостаток не предела, а системы координат. Если речь идет о декартовой системе, то можно попридумывать всякие извращения на тему о том, как изобразить бесконечность. Но если переделать специальным образом шкалы, то бесконечность изобразить можно (простейший пример: замена u=1/х). Кроме того, бесконечные пределы требуют расширения определения, которое не всегда делается.
А вообще-то я согласен, что асимптота (вертикальная или горизонтальная) указывает на предел. Но это только когда есть график функции. В вопросе, строго говоря, не говорилось про график самой функции. И выбранный автором темы пример явно не имеет отношения к асимптотам .

Добавлено через 7 мин.
Я считаю, предел при x-->x0 можно изобразить точкой только тогда, когда функция непрерывна в точке x0, а если нет, то асимптотой!!!

При чем тут непрерывность?.. Функция в точке х0 может быть и совсем не определена, а предел в ней может быть. Или так: предел есть, но не совпадает со значением (разрыв). Я бы сказал так: конечные пределы изображаются точками, бесконечные - см. первый абзац..

[Айра]

Просто на экзамене по матану некоторым досталось изобразить график функции типа такой, как я написала.. Мы с такой прелестью еще не сталкивались и было интересно.. Значит все таки точка..
Слава богу мне такой вопрос не попался)))))))))

Всем пасибо)))

[andriano]

Точка - вряд ли.
Точка имеет две координаты, а предел - это лишь одно число. Но т.к. единственное число на графике изобразить невозможно, чаще всего изображают именно асимптоту. Причем, функцию - сплошной кривой, а асимптоту - пунктирной прямой.

[мисс_граффити]

Точка - вряд ли.
Точка имеет две координаты, а предел - это лишь одно число.

А ничего, что предел вычисляется не абстрактно, а при значении аргумента, стремящегося к чему-то?
Так что чисел - 2. но одно задано не точно, а некоторой окрестностью... если речь про предел при стремлении к бесконечности, то условно берется весьма большая окрестность.

Пример:
lim(x->0) x^2=0
при чем здесь асимптота? обычная точка - вершина параболы.

[Yevgeny]

как сказал Lapp:

Я бы сказал так: конечные пределы изображаются точками, бесконечные - см. первый абзац..

Тут действительно конечный предел!!! Предел, или предельное значение функции тут точно точка, но X-->0, а как быть, если в этом же примере X устремить к плюс бесконечности, пределом будет тоже плюс бесконечность, как это обозначить, если точкой, то как?

[andriano]

Вообще-то вопрос всодится к тому, как изобразить график того, что не является функцией, а потому не может быть изображено в виде графика.
Если предположить, что "точкой", то как изобразить эту точку, если в этом самом месте УЖЕ проходит график функции? Может, не точкой, а кружочком?
А как быть, если для самой функции эта точка выколота и, следовательно, на графике в данной точке уже присутствует маленькая окружность?

[Айра]

не поняла причем здесь вообще график самой функции и способ изображения на нем предела.. да хоть пентаграммой, дабы вообще ни с чем не совпало))) но и совпадать там, по условию задания, не с чем.. В моем случае будет только точка (0,1).. (я даже разобралась))))

А почему предел не является функцией?

фу́нкция (лат. functio — исполнение, осуществление) — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

Вроде данное "действо" у нас выполняется..

А вообще, экзамен сдан, коварное задание не попалось, в следующем семестре, если что, можно докопаться до препода с этим вопросом (если конечно сдам дискретку и следующий семест будет)))

Сообщение отредактировано: Айра - 24.01.2008 14:14

[Lapp]

А почему предел не является функцией?
...
Вроде данное "действо" у нас выполняется..

Ммм.. Строго говоря, не совсем. В определении предела нет ничего явно о такой зависимости. Таким образом, предел можно считать функцией, но только если договориться, что считать аргументом и что функцией. Оно может и очевидно как бы, но в математике нужны формальные связи. Если договоиться считать х0, к которому стремится х, аргументом, то по данной функции можно генерировать другую, которая состоит из пределов. Тогда, например, функция:

y = 0, при х не равном 0
у = 1, при х=0

- превратится в константу у=0. Этот процесс можно назвать "доопределением по непрерывности". Конечно, он не всегда возможен (например, сигнум так нельзя доопределить).

Но это все сказано о случае, когда х0 подразумевается изменяющейся в некоторых пределах. Если же х0 фиксировано (как в изначальном примере, и как вообще часто бывает в задачах), то "фунуция" вырождается в простую координатнуюю пару (точку). В этом случае говорить о функции просто неинтересно .

PS
Айра, стыдно.. Нужно разобраться до полной ясности - независимо от зачетов/экзаменов.

[Айра]

Стыдно мне.. теперь я опять запуталась ..получается отдельная точка (точнее функция, определенная только в одной точке) - уже не является функцией?

[мисс_граффити]

Во-первых, более конкретное определение функции (Новиков, Дискретная математика для программистов):
Пусть f - отношение из А в В, такое что для любого a если (a,b) принадлежит f и (a,c) принадлежит f, то b=c. Такое отношение называется функцией из А в В.

То же своими словами: если f(1)=1, то f(1) не может быть равно 12. Каждому x при определении f(x) ставится в соответствие не более одного y. С пределами это требование не совсем выполняется (вспоминаем понятия правостороннего и левостороннего пределов). Хотя, конечно, можно сказать, что для левостороннего предела мы вычисляем не f(x0), а f(x0-eps), где eps - бесконечно малая величина....
то есть требуется еще одна оговорка.

функция, определенная только в одной точке уже не является функцией?

Почему же? Является.

[andriano]

Во-первых, более конкретное определение функции (Новиков, Дискретная математика для программистов):
Пусть f - отношение из А в В, такое что для любого a если (a,b) принадлежит f и (a,c) принадлежит f, то b=c. Такое отношение называется функцией из А в В.

Это плохое определение функции.
Обычно хорошие встречаются в справочниках по математике для поступающих в ВУЗы.

Почему же? Является.

Да, область определения функции может состоять из единственного элемента, например, точки. Правда, какая-то несколько вырожденная функция получается, но определению не противоречит.
А вот предел функцией не является. Достаточно попытаться определить, что же является в этом случае областью определения и что - множеством значений, чтобы это понять.
Кстати, недостаток приведенного определения (Новикова) как раз в том и состоит, что не вводит таких понятий, как область определения и множество значений, а без них корректно определить функцию невозможно.

PS. Кстати, в Википедии содержится вполне вменяемое определение функции, так что можно справиться там.

Сообщение отредактировано: andriano - 25.01.2008 3:25