задачи по мат.анализу Опции

[leon00831]

у мня есть несколько легких задач по мат. анализу и мне хотелось ба узнать ваши предложения по поводу решения:
1.как доказать,что множество алгебраических чисел счетно?
2.какая будет мощность у множества А с индексом k?(A-множество алгебраич.чисел,индекс k указывает на степень алг.числа)?
3.можно ли расположить на прямой континуум непересекающихся :
а)интервалов на прямой?
б)отрезков на прямой?
Если да или нет,то как доказать?


Сообщение отредактировано: leon00831 - 6.01.2010 20:12

[Lapp]

у мня есть несколько легких задач по мат. анализу и мне хотелось ба узнать ваши предложения по поводу решения:
1.как доказать,что множество алгебраических чисел счетно?
2.какая будет мощность у множества А с индексом k?(A-множество алгебраич.чисел,индекс k указывает на степень алг.числа)?
3.можно ли расположить на прямой континуум непересекающихся :
а)интервалов на прямой?
б)отрезков на прямой?
Если да или нет,то как доказать?

Лично у меня нет предложений. Есть решения. Но мне хотелось бы сначала услышать твои предложения.. Ты пытался решить задачи? Не получилось? С чем конкретно затык? Задавай вопросы по решению, а не "какой ответ".

[leon00831]

в первом я пробовал через уравнения,если их пересчитать,то счетно множество и алг.чисел-они ведь являются корнями алг.уравнений.но для этого нужно использовать "высоту" и пересчитать её.это как-то получилось,но я сомневаюсь.
с третьим -нужно провести перешаг по всем интервалам на прямой,аналогично с отрезками.но для этого нужно доказать,что точка перешага будет рациональной,а это соблюдается,только если концы отрезка или интервала-рациональные числа(ответ в 3а и 3б-счетное множ,но это нужно доказать),а множ. рац. чисел- счетно...не знаю,что делать в том случае,когда концы-иррациональные числа...
со вторым -множество счетное,но как это доказать,пока не придумал.

[Lapp]

в первом я пробовал через уравнения,если их пересчитать,то счетно множество и алг.чисел-они ведь являются корнями алг.уравнений.но для этого нужно использовать "высоту" и пересчитать её.это как-то получилось,но я сомневаюсь.

Тут нечего сомневаться, способ верный, нужно только аккуратно все сделать. Ты приведи всю цепочку рассуждений. Если что-то не так, я подрпавлю и скажу, почему.

с третьим -нужно провести перешаг по всем интервалам на прямой,аналогично с отрезками.но для этого нужно доказать,что точка перешага будет рациональной,а это соблюдается,только если концы отрезка или интервала-рациональные числа(ответ в 3а и 3б-счетное множ,но это нужно доказать),а множ. рац. чисел- счетно...не знаю,что делать в том случае,когда концы-иррациональные числа...

Я не вполне понял, что такое перешаг.. Это перебор?
Тебе известен факт, что между любыми двумя числами (рациональными или нет - неважно) всегда найдется рациональное число? Попробуй им воспользоваться.

со вторым -множество счетное,но как это доказать,пока не придумал.

Тут я не совсем понял.. Если A_k есть подмножество всех алгебраических чисел, плюс оно бесконечно - то что тут доказывать? Или тебе нельзя так, а нужно в лоб? Ну, тогда "отрежь" часть от доказательства первой задачи..
В чем я не прав?

[Гость]

а сам факт того что между двумя числами найдется рациональное-можно на что-нибудь сослаться?
насчет превого-там в виде таблицы выписать все высоты ,а затем пересчитывать их способом "змейки"
и еще одна вещь-как можно доказать,ЧТО ДЛЯ ЛЮБОГО А не существует СЮРЪЕКЦИЯ ВО множество 2 в степени А?я пытался пользоваться "фактом",что А<2 в степени А,но не уверен,чт можно им пользоваться...

[andriano]

а сам факт того что между двумя числами найдется рациональное-можно на что-нибудь сослаться?

Среднее арифметическое двух рациональных есть рациональное по определению.

[Lapp]

М

Просба использовать верхние и нижние индексы при написании мессаджа. Уважай читающих твой мессадж. Кнопки в форме ответа есть.

и еще: с гостем больше говорить не буду. Это уже не как модератор, а как человек.. надоели безлицые.

[leon00831]

Среднее арифметическое двух рациональных есть рациональное по определению.

насчет рац.чисел то понятно,но что делать,когда числа иррациональные?

[Lapp]

Среднее арифметическое двух рациональных есть рациональное по определению.

Не "по определению", а "легко доказать, что". Это "две большие разницы" (С)

насчет рац.чисел то понятно,но что делать,когда числа иррациональные?

Тут масса способов, все они несложные, но могут зависеть от принятой системы аксиом. Вообще, обычно достаточно сказать, что множество рациональных чисел всюду плотно, но можно и не пользоваться этим. Например, знаешь, что рациональные представляются конечной, а иррациональные - бесконечной десятичной дробью? Если нам даны два иррациональных числа, то находим первый знак, в котором отличие, и обрезаем обе дроби за следующим и добавлением еще одной цифры и подбором ее конструирум то, что надо (но нужно быть осторожным, там есть подводные камни).

Или так:
даны a и b - иррациональные (a<b). Берем r₁<a и r₂>b. Далее находим r₃ посредине отрезка [r₁,r₂], потом середины половинок и т.д. Таким образои покрываем все сеткой со стремящимся к нулю размером яцейки и рациональными узлами. Когда длина ячейки станет меньше разности b-a, узел попадет между ними.

Кстати, первый способ практически эквивалентен второму с делением не на две части, а на десять )).

[leon00831]

кто может помочь с доказательстом теоремы кантора?как доказать,что множество всех подмножеств А больше А???

[Lapp]

как доказать,что множество всех подмножеств А больше А???

Нет ничего проще. Только не вали все в одну кучу.

М

Новая задача - новая тема.