Ортогональное проектирование, трёхмерного пространства на плоскость Опции

[Footballplayer]

Здрвствуйте.
Прошу помощи.

Необходимо вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства Е³ на плоскость,натянутую на векторы а(-1,1,-1) и b(1,-3,2)
Скалярное произведение стандартное.

Вот, что я думаю по поводу решения:
1.Находим уравнение плоскости, на которое проектируем пространство: x-y-2z=0
2. Находим ФСР этой системы (состоит из одного этого уравнения ) : получаем вектора е₁(1,1,0),e₂(2,0.1)

а вот далее я думаю надо искать ортогональную состовляющую..
или..
не знаю
самое ужасное что не могу толком представить это на бумаге.Имею в виду пространственное воображение


Понимаю, что вы все здесь люди занятые.Однако параллельно понимаю, что вы очень умные.Часто просматриваю форум.
Поэтому прошу помощи.

Сообщение отредактировано: Footballplayer - 28.01.2010 20:12

[TarasBer]

Допустим, что мы проеЦируем (а не проектируем, проектируют самолёты) на плоскость, проходящую через ноль, и перпендикулярную вектору v = (X, Y, Z).
Тогда вектор u (x, y, z) должен перейти в u - v*<u, v>/sqr(v) (просто вычитаем проекцию на прямую, проходящую через v)
То есть имеем отображение (x, y, z)|->(x, y, z) - (X, Y, Z) * ((xX+yY+zZ)/(sqr(v)) =
(x-X*(xX+yY+zZ)/(sqr(v)), ...) =
((1-sqr(X))/sqr(v) * x + (-X*Y)/sqr(v) * y + (-X*Z)/sqr(v) * z, ...)
Таким образом, вся матрица выглядит так:

Код

(1-sqr(X))/sqr(v)  (-X*Y)/sqr(v)      (-X*Z)/sqr(v)
(-X*Y)/sqr(v)      (1-sqr(Y))/sqr(v)  (-Y*Z)/sqr(v)
(-X*Z)/sqr(v)      (-Y*Z)/sqr(v)      (1-sqr(Z))/sqr(v)

[Footballplayer]

TarasBer спасибо большое за предоставленное решение.Его ход я понял.Однако:

Тогда вектор u (x, y, z) должен перейти в u - v*<u, v>/sqr(v) (просто вычитаем проекцию на прямую, проходящую через v)

1.Немножко не понял смысл Вашей фразы "просто вычитаем проекцию НА прямую"
2.Эту формулу мы не доказывали на лекциях, поэтому её нам использовать нельзя.. вот такие пироги

Мне преподователь сказала, что здесь используется задача о перпендикуляре.
А как? не понимаю

и ещё:
элемент (1,1) полученной матрицы при подстановке равен нулю насколько я понял.С ответом это уже не сходится

Но всё равно спаибо

Сообщение отредактировано: Footballplayer - 28.01.2010 18:24

[Lapp]

1.Немножко не понял смысл Вашей фразы "просто вычитаем проекцию НА прямую"
...
Мне преподователь сказала, что здесь используется задача о перпендикуляре.

Хм.. может, так понятнее:
"просто вычитаем проекцию на прямую, проходящую через v"
То есть не "вычитаем проекцию на", а "проекцию на прямую, проходящую через v, просто вычитаем".
Я правильно уловил смысл вопроса?..

А что есть задача о перпендикуляре? Можешь пояснить?

[Footballplayer]

а
всё понял

теперь

вектор а - проекция на какое-то пространсво L (ортогональная проекция)
вектор b - перпендикуляр к L (т.е. он принадлежит ортогональному дополнению к L) (ортогональная состовляющая)
вектор х - наклонная

есть следствие из теоремки одной,что существует единственное разложение вектора х=a+b (вектор а принадлежит L, вектор b принадлежит ортогональному дополнению к L)

задача о перпендекуляре:
это задача о разложении вектора в сумму ортогональной проекции и ортогональной состовляющей.

могу предоставить решение в общем виде задачи о перпендикуляре, которое в свою очередь, судя по всему и используется в исходной задаче.