Цитата(Footballplayer @ 14.04.2010 20:33)
может знает кто-нибудь ход доказательства?
лично я не знаю...
Дык. На то и задача, чтоб не знать, а подумать и догадаться
.
Тут нужно исходить из определения, то есть через "эпсилон-N" (эпсилон я буду обозначать через Е). Без потери общности можно ограничиться случаем стремления к нулю - исходное условие получится из этого простым почленным сложением с a. Кроме того, доказательство достаточно провести по отдельности для действительной и мнимой части (совершенно одинаково).
Итак, дано:
{z
n} --> 0 .
Доказать, что последовательность средних значений тоже стремится к нулю:
{ (z
1+z
2+...+z
n)/n } --> 0 .
Считаем, что нам задано Е. Задача в том, чтоб найти N, такое, что из условия m>N следует:
|(z
1+z
2+...+z
m)/m| < E .
Сначала возьмем пловину Е, то есть Е/2, и найдем такое N
1, дальше которого все z
i<E/2. Это возможно, т.к. z
i стремится к 0. Далее рассмотрим некоторое N>N
1. Нашу сумму, фигурирующую в числителе, разобьем на две: до N
1 (включительно) и после него (s
1 и s
2):
(
z1+z2+...+zN1+
zN1+1+...+zN ) / N =
s1/N +
s2/N .
Каким бы ни было N, последнее (зеленое) слагаемое всегда будет меньше Е/2, поскольку каждый член суммы s
2 по модулю не превосходит Е/2, а их количество меньше N. Число s
1 не зависит от N (то есть константа). Теперь осталось сделать и красное слагаемое меньше Е/2. Для этого нужно взять N>s
2/(E/2). И задача решена!