2 задачи на планиметрию Опции

[Вячеслав Л.]

Прошу помощи:

1. В треугольнике ABC точка N - точка пересечения высот, CH и AB равны. Найти угол C.

2. В треугольнике ABC ON и BM - высоты, O - центр вписанной окружности. OC=MN=12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

Выскажите, пожалуйста, Ваши идеи. Заранее спасибо.

[TarasBer]

1.



Отразим N относительно середины AC, получив B'
т.к ABC+ANC=180, то B' лежит на описанной окружности.
CN=AB'; AB' перпендикулярно AB. Треугольник ABB' - прямоугольный, равнобедренный, значит, AB'B=45, значит, ACB=45

2.



Отразим ортоцентр H относительно сторон AB и AC, получив точки C' и B', лежащие на описанной окружности (это тоже от того, что ABC+AHC=180).
B'C' = 2*MN. MN = R (R - радиус описанной окружности ABC, равен 12) по условию, значит, B'C' - диаметр.
BAC=B'HC, значит сумма дуг C'B и CB' равна дуге BC. Т.к. B'C' диаметр, то C'B+CB'+BC=180, значит, BC=90, значит BOC=90. Значит радиус окружности, описанной вокруг BOC, равен половине BC. Т.к. дуга BC опирается на дугу в 90 градусов, то BC=R*sqrt(2). Значит R(BOC)=R*sqrt(2)/2=6*sqrt(2)

[Вячеслав Л.]

Отразим N относительно середины AC

Что вы имеете в виду? Отметить такую точку B' чтобы относительно середины AC точки B' и H располагались симметрично? Это?

т.к ABC+ANC=180, то B' лежит на описанной окружности

Разъясните подробнее, пожалуйста. Два угла, проходящие через одни точки с разными вершинами, их сумма 180 (это я понимаю), как они доказывают что B' лежит на описанной окружности? Как догадаться, что необходимо дорисовать окружность? Что вас на это натолкнуло?

AB' перпендикулярно AB

Как это доказать?

Затем, можно, пожалуйста, подробнее как доказать что треугольник ABB' равнобедренный?

Разъясните, пожалуйста.

[TarasBer]

> Отразим N относительно середины AC
Что вы имеете в виду? Отметить такую точку B' чтобы относительно середины AC точки B' и H располагались симметрично? Это?

Да, а что ещё? Смысл в том, чтобы образовался параллелограмм AB'CN.

> Два угла, проходящие через одни точки с разными вершинами, их сумма 180 (это я понимаю), как они доказывают что B' лежит на описанной окружности?

У вас разве не было того факта, что вокруг четырёхугольниа с суммой противоположных углов, равной 180, можно провести окружность?

> AB' перпендикулярно AB
Как это доказать?

AB'CN - параллелограмм, значит AB' || CN, а CN перпендикулярно AB по условию.

> Затем, можно, пожалуйста, подробнее как доказать что треугольник ABB' равнобедренный?

AB'CN - параллелограмм, значит AB' = CN, а CN = AB по условию.

Сообщение отредактировано: TarasBer - 13.05.2010 20:42

[Вячеслав Л.]

Спасибо огромное Разобрался. +1