Делимость суммы на 17 Опции

[Вячеслав Л.]

Доказать, что 2+2²+2³+2⁴+...+2²⁰⁰⁸ делится на 17.

Первое, что приходит в голову - вынести общий множитель. Затем, наверное, должна быть какая-то группировка, не могу придумать.

Прочитал такое:

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17).

Википедия

Но у нас не число, а последовательность. Что делать?

[volvo]

Доказать, что 2+2²+2³+2⁴+...+2²⁰⁰⁸ делится на 17.

Ну, а если переписать эту последовательность так:

(2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸) + 2⁸(2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸) + 2¹⁴(...) + ... ? А каждая из скобок делится на 17.

[kumino]

2+2^2+2^3+2^4+...+2^2008=(2+1)*(2+2^3+...+2^2007)=(2+1)*(2^2+1)*(2+2^4+2^7+...+2^2006)=
=(2+1)*(2^2+1)*(2^3+1)*(2+2^5+2^9+2^13+...+2^2005)=(2+1)*(2^2+1)*(2^3+1)*(2^4+1)*(2+2^6+2^11+...+
+2^2004) 2^4+1=17, итак эта сумма кратна 17.

[Вячеслав Л.]

Спасибо

volvo, а почему вы предположили, что скобка делится на 17? Или просто посчитали: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510, 510 делится на 17?

kumino, используй, пожалуйста, в следующий раз sup, очень неудобно читать.

[volvo]

Я предположил, что какая-то из накапливающихся сумм будет делиться на 17. И проверил: прошел по нескольким элементам, пока не дошел до суммы = 510, которая на 17 делится.

[Вячеслав Л.]

Понятно.

[-TarasBer-]

2+...+2^8 = 1*(1+2+4+...+2^7) = 1*(2^8-1) = 1*(2^4-1)*(2^4+1)

[volvo]

Только выносить за скобку надо 2, а не 1... Хотя это ничего и не меняет.