Конформные отображения Опции

[PUMA]

Всем привет!
Помогите кто сможет с заданием:
указать области конформности следующих отображении:
1.w=e^(-3*z);
не знаю как вообще делать...
в тетр. написано: 1)аналит-ть(выполняется) 2)однолистность (вроде как нет)
3)производная ни в одной точке не должна равняться нулю(выполняется);
пункт 2) под вопросом т.к. в тетрадке написано что ф-я e^z бесконечнолистная....как определять,я не понимаю

2.w=z^2-4*z;
1),3)усл-я выпол-ся...а как определить однолистность?или многолистность?и что дальше делать?



Сообщение отредактировано: PUMA - 6.05.2011 1:14

[Гость]

период пи/2? это периодичность sin x ,он же в мнимой части находиться?
я не понимаю конформность

Экспонента прекрасно однозначна по действительной оси, но по мнимой она периодична.

а по действительной оси-косинус, он однозначен...период у него 2*пи...
у косинуса сжатие происходит,или оно тут не при чем?

[Lapp]

период пи/2? это периодичность sin x ,он же в мнимой части находиться?

Бумс.. не понял. Где это тут sin x в мнимой части?
В мнимой части находится sin y, но только это тут ни при чем )).
То, что ты написала - это значение функции, и в нем нам не важна мнимость/действительность. Аргумент этой функции есть комплексное число z, которое мы записываем в форме x+iy, где x и y - действительные числа. Таким образом числу z мы ставим в соответствие точку на плоскости с координатами x и y. Я знаю, что ты это знаешь, но бардак в твоей голове нужно начинать прояснять именно с этого .

Теперь запишем то, что ты вывела с помощью формулы Эйлера (только покрасивше))

e^-3z = e^-3x * (cos(-3y) + i*sin(-3y))

Что тут важно? Что зависимость от координат (то есть от составных частей аргумента z) распалась на два множителя (первый зависит только от x, второй только от y). Теперь поисследуем эту зависимость.
Возьмем произвольное коаплексное число z_o=x_o+iy_o (или, что то же самое, точку на плоскости с координатами x_o и y_o). Зафиксируем y=y_o и будем изменять x. Что это значит? Это значит, что мы движемся в пределах прямой y=y_o. В этом случае второй (зеленый) множитель будет оставаться постоянным, и вся зависимость сведется к e^-3x*C, где C - комплексная постоянная. Эта функция, как известно, взаимно однозначная (или, если хочешь, однолистная), то есть вполне подходит для конформности отображения. По этому с осью x никаких проблем.

Теперь исследуем поведение функции по y,зафиксировав x=x_o. Тогда первый (синий) множитель остается постоянным и зависимость есть C*(cos(-3y) + i*sin(-3y)). Это сумма двух функций, каждая с периодом 2П/3. Тебе же нужно определить промежутки, на которых значения этой функции не повторяются.

я не понимаю конформность

Видимо, вам плохо объяснили.. На самом деле это очень простое понятие. Первая часть слова, "кон", означает связь (такой же, похожий). Вторая часть не нуждается в переводе. Общее значение - "похожая форма". То есть это преобразования, которые сохраняют похожесть форм. Возникли они, насколько я помню, из обычной картографии. Ты видела карту мира? а карту полушарий? Обе они есть перенос сферической поверхности на плоскость. Попробуй сравнить каждую из них с глобусом (который является точной моделью), особенно первую. Ты увидишь, например, странное несоответствие в размерах приполярных областей. Гренландия на карте мира кажется значительно больше, чем на глобусе (по сравнению с другими местами). НО ФОРМА ее приблизительно такая же (особенно мелкие детали, побережье). Главная особенность конформного преобразования (КП) - сохранение УГЛОВ между линиями в точках их пересечений. Это и создает похожесть.

Я очень советую тебе почитать что-то на эту тему. Если разберешься с азами - дальше будет намного проще..

а по действительной оси-косинус, он однозначен...период у него 2*пи...
у косинуса сжатие происходит,или оно тут не при чем?

Совсем не понял я про сжатие.. И как это косинус - однозначен? То есть, он конечно сам однозначен, но тут важна ВЗАИМНАЯ однозначность (то есть обратная функция должна быть тоже однозначной), а у него ее явно нет.
Не могу уловить даже, в каком месте ты ошибаешься. Постарайся выкладывать свои мысли подробнее. Я же вот стараюсь это делать.. ))

Сообщение отредактировано: Lapp - 8.05.2011 19:00