описать все кольца, функциональный анализ Опции

[Rian]

Пусть X={a,b}. Описать все кольца, которые можно построить из В(Х) – булеана множества Х.

если я правильно понял то нужно перебрать все комбинации подмножеств, но как понять замкнуты они относительно ^ и симетричной разности?

т.е. ?
{0}
{a, 0}
{b, 0}
{ {a,b},0 }

ЗЫ и как понять симметричную разность?

[Krjuger]

Симметричная разность это то,чего нет в пересечении двух множеств.
{0}
{a, 0}
Сим. разность а
{a, 0}
{b, 0}
Сим. разность а,b

подмножеств

{ {a,b},0 } что то тут не вяжеться....

Определение замкнутости.
Пусть дано топологическое пространство (Х,Т). Множество V ,принадлежащее X, называется замкнутым относительно топологии (Т) , если существует открытое множество U пренадлежащее T такое что V=X\U.

[Lapp]

Крюгер прав насчет симметрической разности: это сумма минус пересечение. Но насчет определения замкнутости он перемудрил.. )) Топология тут ни при чем, полагаю. Просто операция, относительно которой опеределяется замкнутость, не должна выбрасывать тебя за переделы рассматриваемого множества. Понять в данном случае можно, думаю, только перебором.

[Krjuger]

Ну то, что я написал это общее определение.Как бы если топология это всего 1 операция то мое определение превращаеться в то,что написал Lapp, просто когда операций не 1, а целое множество нужно сделать так чтобы любая операция из этого множества не выводила за пределы.

[Rian]

хм... а на примере можно показать? что будет кольцом а что нет? и замкнутость?

Сообщение отредактировано: Rian - 31.10.2011 12:20

[Krjuger]

Говорили же замкнутость- это когда данная операция не создает элементов, не входящих в исходное множество.
У тебя есть правило.

В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов A, B из кольца элементы A^B и Aсим.разностьB тоже будут лежать в кольце.

Из этого следует,чтобы построить кольцо,нужно взять исходные элементы и совершать соотв. операции.Так же есть 4 дополнения.
Пустое множество принадлежит любому кольцу .
Объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу .
Разность элементов кольца также принадлежит кольцу.
Прямое произведение колец является полукольцом, но не обязано быть кольцом.
Больше я помочь ничем не смогу,давно это проходилось и больше не использовалось, уже плохо помню.