Размерность Минковского Опции

[valerianka97]

Единичный квадрат делится на 12 равных прямоугольников размера 1/3 х 1/4. Все прямоугольники за исключением четырех угловых удаляются. Далее с каждым из оставшихся четырех прямоугольников процесс повторяется. И так до бесконечности. Вычислить размерность Минковского оставшегося множества.

[OCTAGRAM]

Получившаяся фигура самоподобна (если разрешить афинные преобразования). Для фрактальной площади верно тождество:

Код

S = (12 - 4) * S * ((1/12)^(1/2))^p

Здесь 12 - 4 = 8 — это количество фрагментов, которым самоподобен фрактал, p — размерность Минковского. Если бы она была 2 как для нормальной площади, то площадь каждого фрагмента была бы в 12 раз меньше. Уменьшению обычной площади в 12 раз соответствует уменьшение линейных размеров в корень из 12 раз, это и есть (1/12)^(1/2).

Код

S = (12 - 4) * S * ((1/12)^(1/2))^p
1 = 8 * ((1/12)^(1/2))^p
1/8 = ((1/12)^(1/2))^p
ln(1/8) = ln(((1/12)^(1/2))^p)
-3ln(2) = (-p/2)*ln(12)
3ln(2) = (p/2)*ln(12)
(p/2)*ln(12) = 3ln(2)
p*ln(12) = 6ln(2)
p = 6ln(2)/ln(12)
p = 1.673657673906779059146264486227313618628766025578838407836