Дискретная математика, задачи Опции

[setare]

Вот задачи, которые нам задали решить, но как решить не сказали и бросили на произвол судьбы. В книгах в библиотеках вообще ничего найти нельзя. Не могли бы вы помочь хотя бы какую то часть решить. Буду вам очень благодарна. Только пожалуйста, умоляю обьясняйте чуть чуть понятнее, потому что я в этом вообще ничго не смыслю. Спасибо огромное!!!
Вот задачи:
1.Какова мощность множества всех корней уравнения x5-2x3+x=0.
2.Доказать, что множество всех счетных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.
3.Доказать, что если отношения R1 и R2 рефлексивны, то рефлексивны и отношения R1R2, R1R2, R1-1, R1R2.
4.Найти порядок перестановки
(1 2 3 4 5 6 7 8 9)
(3 5 7 9 6 8 1 2 4).
5.Найти смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных данному натуральному числу n ( Z + / nZ ).
6.Построить группу симметрий куба. Каков наивысший порядок циклических подгрупп, содержащихся в ней?
7.Найти натуральное число, меньшее 1000, имеющее наибольшее количество делителей.
8. Пусть p-простое число, p>3. Доказать, что если сравнение
x2 + x + 1 = 0 (mod p)
разрешимо, то p имеет вид 6n +1. Вывести отсюда, что множество
простых чисел вида 6n +1 бесконечно.
10. Будет ли множество Z целых чисел подгруппой аддитивной группы,
a + bi с целыми a и b ?
подкольцом или идеалом в кольце А целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида

[Atos]

Так, файлы скинул, теперь насчёт оставшейся восьмой задачи:
В общем, можно рассуждать следующим образом: проверить, что x^2+x+1 может быть сравнимо только с единицей или с тройкой по модулю 6, и , таким образом, представимо либо в виде (6n+1), либо в виде (3^m) * (6n+1). Однако проблема состоит в том, что в таблице умножения вычетов по модулю 6 единица может получаться двумя способами - как единица в квадрате либо как пятёрка в квадрате. И если (6n+1) раскладывается некоторым образом в (6k+5)(6l+5), то получаем простые числа, такие, что x^2+x+1 сравнимо с нулём по их модулям, но сами они не представимы в виде (6n+1) . То есть данную задачу можно свести к следующему утверждению: доказать, что x^2+x+1 не делится на (6k+5) для любых натуральных x и k. Только вот как это сделать...

Правда, могу предложить неправильное доказательство :D .
Сначала сам хотел доказать таким способом, но увидел очевидную ошибку... если препод тупой, то может и поведётся..

p- простое --> p-нечётное --> p= 2k+1. Докажем, что k=3n. От противного: пусть k не делится на 3 --> так каk x(x+1) = 2k, то ни x, ни (x+1) не делятся на 3 --> (x-1) и (x+2) делятся на 3 --> p=x(x+1)+1 = (x-1)(x+2)+3+1 = 3*((x-1)(x+2)/3 +1) +1 = 3t+1. Таким образом, p=2k+1=2(3n)+1=6n+1.

Сообщение отредактировано: Atos - 12.10.2005 15:53