Комбинаторика, задачи Опции

[setare]

Здравствуйте! Нам дали очередное БДЗ и вот у меня возникли некоторые вопросы. Была бы очень благодарна, если бы вы мне помогли!

1. Установить биективное соответствие между множеством всех отображений множества X в множество {0,1} и множеством 2 в степени х и найти модуль из 2 в степени х, еслимодуль Х = n.

5. Имеется 3n +1 предметов, из которых n одинаковых , а остальные различны. Сколькими способами можно извлечь эти n предметов?

7. Найти коэффициент при t в степени 33 в разложении (3 + 4t + 5t4 ) в степени 20 .

Большое спасибо!

[Atos]

1. Это довольно просто. Множество 2 в степени X - это множество всех подмножеств X. Каждому подмножеству ставим в соответствие такое отображение, которое переводит элементы подмножества в 1, другие элементы X в 0. Найдём мощность 2 в степени X. Каждый подмножество можно представить двоичной строчкой нулей и единиц длины n (отобразили описанным выше способом). Всего существует 2^n двоичных чисел длины n, значит, и ответ 2^n.

5. невнятная формулировка. Смущает слово эти. Если извлекаются только эти самые n одинаковых предметов, то нам наплевать, сколько всего остальных, и ответ просто n! (факториал). Или просто любые случайные n предметов? Тогда надо решать совсем по другому...

[klem4]

Atos, ты не понял по поводу 5-й задачи, мне думается смысл примерно такой :

Сколькими разными способами можно на полке расставить 5 книг, если 3 из них - однинаковые ...

в данном случае имеем

n=5

n=n1(первых)+n2(вторых) ...+nr(r-ыхч книг)

C = n!/(n1!*n2!*n3!*...*nr!);

Полиномиальный закон кажется

[Atos]

To: klem4 Да, наверное, ты прав, такая постановка логична. Тогда, совершенно верно, по этой формуле ответ будет (3n+1)!/n! .Тем более запинать бы того, кто такие формулировки составляет Ведь можно допустить ещё и такую интерпретацию: извлекать предметы, пока не вытащим все n одинаковых, и когда это произойдёт, остальные уже не трогать... Просто я привык к чётким определениям...

[Atos]

7. Сколькими способами можено получить 33-ю степень при перемножении 0,1 и 4-й?
33=4*a+1*b+0*c; a+b+c=20; a,b,c-натур.
1) 33=4*8+1
2) 33=4*7+1*5
3) 33=4*6+1*9
4) 33=4*5+1*13

1)многочлен в 20 степени - двадцать одинаковых перемножаемых скобок. Из них нужно выбрать 8 скобок, откуда возьмём 4 степень, 1 скобку с первой степенью, а остальные - с нулевой степенью.
8 скобок из 20 выбираются С(20,8)=20!/8!12! способов, 1 скобка из оставшихся 20-8=12 выбираюся С(12,1)=12 способами, остальные - единственным способом.
Всего получаем С(20,8)*С(12,1)=12*20!/8!12!
2) Аналогично, С(20,7)*С(13,5)
3)аналогично, С(20,6)*С(14,9)
4)аналогично, С(20,5)*С(15,13)

Теперь вычислим ответ:
(5^8)*(4^1)*(3^11)*С(20,8)*С(12,1)+
(5^7)*(4^5)*(3^8)*С(20,7)*С(13,5)+
(5^6)*(4^9)*(3^5)*С(20,6)*С(14,9)+
(5^5)*(4^13)*(3^2)*С(20,5)*С(15,13)=... ну, тут уже надо калькулятором

[setare]

Большое спасибо! Только я хотела спросить а в 5 задаче там не будет
(3n+1)!/n!(2n+1)! по формуле, которую вы использовали в 7 задаче? И почему мы все перемножаем в 7 задаче?И когда вы пишете 5^8 вы имеете в виду степень?

[Atos]

а в 5 задаче там не будет
(3n+1)!/n!(2n+1)! по формуле, которую вы использовали в 7 задаче?

Нет. Правильную формулу дал klem4 , просто подставляем в неё вместо n (всего предметов) (3n+1), вместо n1 подставляем n, вместо остальных ni, i=2,...,2n+2 в знаменателе будут единицы (так как все остальные предметы различны).

И почему мы все перемножаем в 7 задаче?

(5^8)*(4^1)*(3^11) и дp. произведения такого вида - это произведения коэффициентов при перемножаемых степенях t

И когда вы пишете 5^8 вы имеете в виду степень?

Да.

[Guest]

сколькими способами можно распределить 3n различных предметов между 3 людьми так, чтобы каждый получил n предметов?

[Atos]

C(3n,n)C(2n,n)C(n,n)=((3n)!/n!(3n-n)!)*((2n)!/n!(2n-n)!)*1=((3n)!/n!(2n)!)*((2n)!/n!n!)=(3n)!/n!n!n!=(3n)!/3n!