Системы уравнений Опции

[Dead.MorozZ]

Подскажите хотябы идею решения!!!

Решите систему уравнений:
/
| cos2y + 1/2 = (cosy - 1/2)(1 + 2sin2x)
<
| siny (tg^3(x) + ctg^3(X)) = 3ctgy
\

Найдите все значения параметра a, -П < a < П, при которых система
имеет ровно три решения
/
| (9x^2 + 9y^2 - 1)(24y + 9x^2 + 32) = 0
<
| xsin(a) - ycos(a) = 1/3
\

[Lapp]

Где ты откопал этот страх? аж в дрожь бросает!..
Все попытки подступиться к первой системе пока неудачны - темный лес.. Единственная надежда - на то, что в условии ошибка. Проверь еще разок тщательно, а?..

Вторая задачка попроще, кажется. Идея такая - слушай сюда . Первое уравнение распадается на два (каждая из двух скобок-сомножителей равна нулю). Каждое из этих уравнений превращается в квадратное относительно x после того, как мы выразим y через x и a с помощью второго уравнения, а затем подставим в первое (точнее, в те два, на которые оно распалось). Для того, чтобы узнать, сколько корней имеет квадратное уравнение, надо исследовать знак его дискриминанта. Похоже, что первая скобка дает всегда положительный дискриминант (я набросал начало решения, но не закончил его). Если это так, то два корня у нас уже есть, и остается наложить условие, чтобы вторая скобка имела ровно один корень, то есть приравнять ее дискриминант к нулю. Там должно получиться тригонометрическое уравнение относительно a - надеюсь, не очень сложное.
Успехов!
И, уважаемый Дед М., ты, этта, все же выбирай подарки повеселее - хотя бы под Новый Год!..

Сообщение отредактировано: lapp - 8.12.2005 4:55

[Atos]

1) tg^3(x)+ctg^3(x) = (sin^6(x)+cos6^6(x))/(sin^3(x)*cos^3(x)) = (sin^2(x)+cos^2(x))(sin^4(x)-sin^2(x)*cos^2(x)+cos^4(x))/(sinx*cosx)^3 = 1*(sin^4(x)+2sin^2(x)*cos^2(x)+cos^4(x) - 3sin^2(x)*cos^2(x))/(sin(2x) / 2)^3 =((sin^2(x)+cos^2(x))^2 -3sin^2(x)*cos^2(x)) /((1/8)*sin^3(2x)) = 8*(1-3sin^2(x)*cos^2(x))) / sin^3(2x) = 8*(1-3*(sin(2x) /2)^2) / sin^3(2x) = (8-6sin^2(2x))) / sin^3(2x);

Теперь систему можно переписать в виде:
2cos^2(x)-1+1/2=(cosy-1/2)(1+2sin2x) =0
и
sin^2(x) (8-6sin^2(2x))) / sin^3(2x) = 3cosy;
далее
2cos^2(x)-1/2=(cosy-1/2)(1+2sin2x) =0
и
(1-cos^2(x)) (8-6sin^2(2x))) / sin^3(2x) = 3cosy;
замена sin2x=z, cosy=t.

2z^2=z+2tz-t
и
2(1-z^2)(4-3t^2)=3zt^3;
из первого уравнения: либо t=z, либо 2z-1=0;
а)
t=z;

2(1-t^2)(4-3t^2)=3t^4;
2(4-7t^2+3t^4)=3t^4;
8-14t^4-3t^4=0;
решаем как квадратное уравнение относительно t^2, получаем два корня: либо t^2=4, t=2, его отбрасываем, так как |t|=|cosy|<=1, либо t^2=2/3, t=плюс-минус корень из 2/3 . В этом случае получаем cosy=sin2x=плюс-минус корень из 2/3

б)
2z-1=0;
z=1/2;

2(1-1/4)(4-3t^2)=3t^3/2;
4-3t^2 = t^3;
так как |t|=|cosy|<=1, то t=1.
получили sin2x=1/2 и cosy=1.

[GoodWind]

Atos, можт у тебя офис найдется? В нем редактор формул имеется, так в нем формулы читабельные писАть можно

[Atos]

как-то не подумал... на офис давно забил, и Блокнота обычно хватает.. Учту. Да и офис у меня какой-то пиратский, порезанный, по-моему, там и рдактора формул не было... Надо слить у друга нормальный XPшный.

А вообще-то я знаю, как получше сделать. Набирать формульный "код" в TeX'е и компилировать в .pdf ! Полная свобода творчества, и тренировка теховского набора заодно быть посему

Сообщение отредактировано: Atos - 9.12.2005 15:08

[GoodWind]

просто мона из ворда скриншот сделать и нет проблем =)

а офис давно забил,

я тож =))) только пользую не "блокнот" а notepad++ (webpage)... он мне kWrite напоминает