Задачки для школьной олимпиады, вспомнилось... Опции

[Atos]

Разбираясь на компе, обнаружил у себя в старых файлах задачки, которые мы составляли для какой-то олимпиады школьникам два года назад. (предмет "Методика преподавания математики", каждый из группы должен был составить две задачи). К каждой задаче ещё надо было приложить две подсказки, которые бы решающим можно было последовательно брать(за них снималось по баллу).Я взял за основу задачки из замечательной книги М.Гарднера "Математические головоломки и развлечения" и чуть переделал. По-моему, получилось неплохо, сейчас с удовольствием перечитал.

1. {респект Урсуле Ле Гуин! }

Верховный маг Земноморья Гед узнал, что на острове Гонт в горах поселились драконы. На острове 3 горы, в каждой 2 большие пещеры. Каждый из драконов живёт в одной из таких пещер. В пещере может поместиться только один дракон. На карте, попавшей к Геду, возле первой горы стоит надпись: "Здесь живут два дракона", возле второй - "Здесь живёт один дракон", возле третьей - "Здесь нет драконов".
Рыбаки острова Гонт сказали Геду, что на острове по-прежнему живут три дракона, но со времени составления карты они переселялись из пещеры в пещеру, так что ни одна из трёх надписей не верна. На одной из гор и сейчас нет драконов, но не на третьей. Гед забыл спросить рыбаков, какие надписи над поставить на карте возле гор, чтобы они были верными, и ему самому пришлось отправиться на Гонт. Какое минимальное количество пещер для этого ему необходимо посетить?
Подсказки:
1) Магу следует решить, не с какой именно пещеры начать, а с какой горы.
2) Посетив одну пещеру на какой горе, Гед сможет в любом случае определить, пуста ли вторая пещера?
Ответ: минимальное количество - одна пещера (любая пещера на второй горе).

Ну это несложная задачка, зато "литературно" оформленная ;) А вот вторая...

2. В одном сосуде 2 л кофе, в другом 1 л молока. Ложку кофе из первого сосуда переливаем во второй. Жидкость во втором сосуде тщательно перемешиваем, и ложку её переливаем в первый. Теперь жидкость в первом также тщательно перемешиваем.
Эту процедуру повторяем 10 раз. Чего теперь больше - молока в первом сосуде или кофе во втором, если в ложку помещается 1/20 л жидкости?
(Плотность кофе и молока считаем одинаковой).

Правда, я садист? Бедные дети... Вообще-то я считал, что человек с логическим мышлением рано или поздно её может решить, но, когда я дал её самому умному человеку в группе, тот он не смог додуматься, даже с двумя подсказками. Так что можно заключить, что задачка удалась... Товарищи программисты, а попробуйте-ка решить! (варианты в ПМ или скрытым текстом) маленькая подсказочка: задачка с подвохом! Впрочем, если кто-то видел её в первоисточнике, то сообразить будет намного легче...

[APAL]

В первом сосуде больше молока, чем во втором кофе.

Первый сосуд Второй сосуд
Кофе Молоко Молоко Кофе
л. 2,000000 0,000000 1,000000 0,000000
1 1,952381 0,047619 1,000000 0,050000
2 1,908163 0,091837 0,953571 0,096429
3 1,867104 0,132896 0,910459 0,139541
4 1,828978 0,171022 0,870426 0,179574
5 1,793574 0,206426 0,833253 0,216747
6 1,760700 0,239300 0,798735 0,251265
7 1,730174 0,269826 0,766682 0,283318
8 1,701828 0,298172 0,736919 0,313081
9 1,675507 0,324493 0,709282 0,340718
10 1,651066 0,348934 0,683619 0,366381
11 1,627236 0,372764 0,651066 0,348934


Сообщение отредактировано: APAL - 21.02.2006 19:12

[Lapp]

APAL, проверь расчеты. Получается, что у тебя общее количество жидкости (в двух сосудах) выросло примерно на литр.. За счет чего бы это?

[APAL]

Отредактировал.
Ошибку исправил.

[Atos]

to APALНет Первая подсказка:
1) Для решения задачи не обязательно знать ёмкость ложки.

[APAL]

Согласен, не обязательно, но технически я вроде как правильно решил.
Скажи, ошибки в чем: в результате, в словесном ответе или в способе решения?

[Atos]

to APALПосмотрел на твои выкладки, и, кажется, понял: накапливание погрешностей вычисления , что дало в конечном счёте неправильный ответ.
А нужны ли здесь вообще расчёты, вот в чём вопрос!
Вторая подсказка
2) Для решения задачи также не обязательно знать, сколько именно молока и кофе было вначале, а также, тщательно ли перемешивались жидкости.


Сообщение отредактировано: Atos - 21.02.2006 19:32

[мисс_граффити]

Я думаю, все проще.
Количество жидкостей в емкостях не изменилось, однако (рассмотрим посудину с кофе) часть вытеснилась молоком.
Очевидно, куда делась вытесненная часть - в емкость с молоком.
то есть сколько молока налили в кофе - столько же кофе в молоко.
соответственно, ничего нигде не больше.

[Atos]

мисс_граффити, верно
Уже три человека дали правильный ответ

[APAL]

И все таки, я считаю что ответил верно.
Не будет одинакового количества, т.к. емкости разные по объему и следовательно будут разные концентрации смесей.
И даже если емкости будут одинаковы, то количества будут разные, т.к. мы не одновременно добавляем по ложке в каждый сосуд из каждого, а последовательно; соответсвенно уже будет маааленькая разница в концентрации и неравномерное распределение, что я наглядно и продемонстрировал расчетами.

P.S.: Попробуйте меня переубедить! Только словесные логические выводы не принимаю, т.к. мои расчеты показывают совсем другое.

[volvo]

Попробуйте меня переубедить! Только словесные логические выводы не принимаю, т.к. мои расчеты показывают совсем другое.

Посмотри PM, я попробовал

[Lapp]

Попробуйте меня переубедить! Только словесные логические выводы не принимаю, т.к. мои расчеты показывают совсем другое.

APAL, ты перегибаешь палку..
Я бы на твоем месте вопрос поставил иначе: "попробуйте меня переубедить либо покажите мне, где у меня ошибка".
Но только, для полноты информации - не мог ли бы ты привести код, использованный для расчета?

А выступления против словесных доводов - это же тоже слова.. Да и, скажем, закон сохранения энергии - чем не слова? Однако, никто не станет же говорить, что ЗСЭ неправилен, поскольку в его-де расчетах есть разница.. Так ведь?

[APAL]

Немножко с опозданием, но выкладываю экселевский файлик (в архиве), на основе которого и делались расчеты.
Надеюсь сможете разобраться с формулами... может действительно я где нибудь напутал - посмотрите кому не лень.

[Atos]

Посмотрю... Кстати, APAL, может быть, ты не так уж и не прав, рассматривая физическую сторону в реальном, а не в идеальном математическом эксперименте... в книжке Гарднера что-то подобное было... попытаюсь найти и отсканировать

[Lapp]

Посмотрю... Кстати, APAL, может быть, ты не так уж и не прав, рассматривая физическую сторону в реальном, а не в идеальном математическом эксперименте... в книжке Гарднера что-то подобное было... попытаюсь найти и отсканировать

Господа, господа!
Ну откуда такое неверие в закон сохранения массы (при равной плотности), открытый еще Михайло Ломоносовым? Сразу предупреждаю: кто его впредь будет нарушать - того вызову на дуэль в разделе Физика!


А если серьезно, то постоянное умножение на 1/20 в процессе переноса (а именно - двадцать раз!), что приводит к сложению чисел сильно разных по порядку величины, не может не сказаться на точности вычислений. Эта задача, несмотря на ее внешнюю простоту, требует применения специальных подходов при численном решении.
Если честно, не хочется лезть в Excel.. Если будет время, набросаю на Паскале - тогда по(численно)экспериментируем..

[APAL]

Если объем ложки принять за пол литра, то получится вот так:

Первый сосуд Второй сосуд
Кофе Молоко Молоко Кофе
л. 2.000000 0.000000 1.000000 0.000000
1 1.66666667 0.33333333 1.00000000 0.50000000
2 1.50000000 0.50000000 0.75000000 0.75000000
3 1.41666667 0.58333333 0.62500000 0.87500000
4 1.37500000 0.62500000 0.56250000 0.93750000
5 1.35416667 0.64583333 0.53125000 0.96875000
6 1.34375000 0.65625000 0.51562500 0.98437500
7 1.33854167 0.66145833 0.50781250 0.99218750
8 1.33593750 0.66406250 0.50390625 0.99609375
9 1.33463542 0.66536458 0.50195313 0.99804688
10 1.33398438 0.66601563 0.50097656 0.99902344
11 1.33349609 0.66650391 0.33398438 0.66601563


Делаю вывод, что чем "глубже" ложка, тем меньше разница в концентрации.
Или действительно все дело в погрешности?

[No matter]

Если будет время, набросаю на Паскале

Не утруждайся... Все давно написано:

[Atos]

Да, всё-таки накопление погрешностей. Посмотри на первые расчёты: там получалось в конце, что всего молока 0,372764+0,651066 > 1 л.

[Atos]

Раз уж начал поднимать старые темы...

Цитата(Atos @ 27.02.2006 8:52)

Посмотрю... Кстати, APAL, может быть, ты не так уж и не прав, рассматривая физическую сторону в реальном, а не в идеальном математическом эксперименте... в книжке Гарднера что-то подобное было... попытаюсь найти и отсканировать

Господа, господа!
Ну откуда такое неверие в закон сохранения массы (при равной плотности), открытый еще Михайло Ломоносовым? Сразу предупреждаю: кто его впредь будет нарушать - того вызову на дуэль в разделе Физика!

Вот что я имел в виду:


{Обнаружил на днях этот файлик со сканированием у себя в универе на сетевом диске, - а я-то думал, он пропал давно }

[offtop] кстати, там же обнаружил и свою цифровую фотку (единственную свою нормальную фотку , - ну не люблю я фотографироваться) надо будет в профиль вставить...

[Lapp]

{Обнаружил на днях этот файлик со сканированием у себя в универе на сетевом диске, - а я-то думал, он пропал давно }

[offtop] кстати, там же обнаружил и свою цифровую фотку (единственную свою нормальную фотку , - ну не люблю я фотографироваться) надо будет в профиль вставить...

Люблю Гарднера, и в частности - за всестороннее (по возможности) рассмотрение.

[offtop]кстати, и аватар выбери заодно.. [/offtop]


[offtop]не-а, не выберу... я раб привычек ;)

Сообщение отредактировано: Atos - 9.10.2006 19:21