Доказать можно, например, вот так:
Пусть a, b - действительные числа, бОльшие е.
Цитата
a^b ? b^a
Логарифмируем по основанию е (при этом знак неравенства не меняется):
ln (a^b) ? ln (b^a)
b ln a ? a ln b
Числа положительные, можно делить:
Цитата
(ln a) / a ? (ln b) / b
Получается, нужно сравнить значения функции f(x) = (ln x) / x в точках a и b
Исследуем эту функцию. Найдем экстремумы на [1; +∞]. Берем производную
((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2
Таким образом, на [1; +∞] единственным нулем производной будет x = e. При бОльших x функция монотонно убывает,
поэтому если a>е и b>е, то из a>b следует (ln a) / a < (ln b) / b, откуда a^b < b^a.