IPB
ЛогинПароль:

> Компиляция правил для данного раздела

1. Заголовок темы должен быть информативным. В противном случае тема закрывается и удаляется ...
2. НЕ используйте форум для личного общения, все что не относится к обсуждению темы - на PM!
3. Одна тема - один вопрос (задача)
4. Спрашивайте и отвечайте четко и по существу!!!

 
 Ответить  Открыть новую тему 
> A>b A^b?b^a
сообщение
Сообщение #1


Пионер
**

Группа: Пользователи
Сообщений: 118
Пол: Женский

Репутация: -  0  +


как сравнить эти да числа?? и какой вообще ответ?


--------------------
Нам не дано предугадать как наше слово отзовется...
 Оффлайн  Профиль  PM 
 К началу страницы 
+ Ответить 
сообщение
Сообщение #2


Michael_Rybak
*****

Группа: Пользователи
Сообщений: 1 046
Пол: Мужской
Реальное имя: Michael_Rybak

Репутация: -  32  +


Если числа натуральные, то так.

a^b ? b^a

Логарифмируем по основанию е (при этом знак неравенства не меняется):

ln (a^b) ? ln (b^a)

b ln a ? a ln b

Числа натуральные, можно делить:

(ln a) / a ? (ln b) / b

Получается, нужно сравнить значения функции f(x) = (ln x) / x в точках a и b

Исследуем эту функцию. Найдем экстремумы на [1; +∞]. Берем производную

((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2

Таким образом, на [1; +∞] единственным нулем производной будет x = e. При бОльших x функция монотонно убывает, поэтому если a>2 и b>2, то из a>b следует (ln a) / a < (ln b) / b, откуда a^b < b^a.

Случаи, когда одно из чисел равно 2 или 1, тривиальны.


Если же числа действительные, то сравнить сложнее, т.к. может выполняться и равенство a^b=b^a, когда одно число больше е, а другое - меньше. Там надо смотреть подробнее.

 Оффлайн  Профиль  PM 
 К началу страницы 
+ Ответить 
сообщение
Сообщение #3


Пионер
**

Группа: Пользователи
Сообщений: 118
Пол: Женский

Репутация: -  0  +


ты знаешь мне нужно взять любую грань ( пускай даже не точную) при которой если числа больше нее то (в действительных) это пусть не строгое неравенство точно можно точно поределить, a^b < = b^a при a,b > n например


--------------------
Нам не дано предугадать как наше слово отзовется...
 Оффлайн  Профиль  PM 
 К началу страницы 
+ Ответить 
сообщение
Сообщение #4


Прогрессор
****

Группа: Пользователи
Сообщений: 602
Пол: Мужской
Реальное имя: Михаил

Репутация: -  9  +


В принципе, тебе уже ответили.
При действительных а,b>e из a>b будет следовать a^b < b^a.
 Оффлайн  Профиль  PM 
 К началу страницы 
+ Ответить 
сообщение
Сообщение #5


Пионер
**

Группа: Пользователи
Сообщений: 118
Пол: Женский

Репутация: -  0  +


а какэто доказать?


--------------------
Нам не дано предугадать как наше слово отзовется...
 Оффлайн  Профиль  PM 
 К началу страницы 
+ Ответить 
сообщение
Сообщение #6


Michael_Rybak
*****

Группа: Пользователи
Сообщений: 1 046
Пол: Мужской
Реальное имя: Michael_Rybak

Репутация: -  32  +


Доказать можно, например, вот так:

Пусть a, b - действительные числа, бОльшие е.

Цитата

a^b ? b^a

Логарифмируем по основанию е (при этом знак неравенства не меняется):

ln (a^b) ? ln (b^a)

b ln a ? a ln b


Числа положительные, можно делить:

Цитата

(ln a) / a ? (ln b) / b

Получается, нужно сравнить значения функции f(x) = (ln x) / x в точках a и b

Исследуем эту функцию. Найдем экстремумы на [1; +∞]. Берем производную

((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2

Таким образом, на [1; +∞] единственным нулем производной будет x = e. При бОльших x функция монотонно убывает,


поэтому если a>е и b>е, то из a>b следует (ln a) / a < (ln b) / b, откуда a^b < b^a.
 Оффлайн  Профиль  PM 
 К началу страницы 
+ Ответить 
сообщение
Сообщение #7


Пионер
**

Группа: Пользователи
Сообщений: 118
Пол: Женский

Репутация: -  0  +


((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2
а вот это почему?

а если 0<a<1/e и 0<b<1/e


--------------------
Нам не дано предугадать как наше слово отзовется...
 Оффлайн  Профиль  PM 
 К началу страницы 
+ Ответить 
сообщение
Сообщение #8


Пионер
**

Группа: Пользователи
Сообщений: 118
Пол: Женский

Репутация: -  0  +


На самом деле мне нужно найти Lim X^x x->0
помогите пожалуйста

Сообщение отредактировано: Reflex -


--------------------
Нам не дано предугадать как наше слово отзовется...
 Оффлайн  Профиль  PM 
 К началу страницы 
+ Ответить 

 Ответить  Открыть новую тему 
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 




- Текстовая версия 19.09.2017 22:22
Хостинг предоставлен компанией "Веб Сервис Центр" при поддержке компании "ДокЛаб"