A>b A^b?b^a Опции

[Reflex]

как сравнить эти да числа?? и какой вообще ответ?

[Michael_Rybak]

Если числа натуральные, то так.

a^b ? b^a

Логарифмируем по основанию е (при этом знак неравенства не меняется):

ln (a^b) ? ln (b^a)

b ln a ? a ln b

Числа натуральные, можно делить:

(ln a) / a ? (ln b) / b

Получается, нужно сравнить значения функции f(x) = (ln x) / x в точках a и b

Исследуем эту функцию. Найдем экстремумы на [1; +∞]. Берем производную

((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2

Таким образом, на [1; +∞] единственным нулем производной будет x = e. При бОльших x функция монотонно убывает, поэтому если a>2 и b>2, то из a>b следует (ln a) / a < (ln b) / b, откуда a^b < b^a.

Случаи, когда одно из чисел равно 2 или 1, тривиальны.


Если же числа действительные, то сравнить сложнее, т.к. может выполняться и равенство a^b=b^a, когда одно число больше е, а другое - меньше. Там надо смотреть подробнее.

[Reflex]

ты знаешь мне нужно взять любую грань ( пускай даже не точную) при которой если числа больше нее то (в действительных) это пусть не строгое неравенство точно можно точно поределить, a^b < = b^a при a,b > n например

[Atos]

В принципе, тебе уже ответили.
При действительных а,b>e из a>b будет следовать a^b < b^a.

[Reflex]

а какэто доказать?

[Michael_Rybak]

Доказать можно, например, вот так:

Пусть a, b - действительные числа, бОльшие е.

a^b ? b^a

Логарифмируем по основанию е (при этом знак неравенства не меняется):

ln (a^b) ? ln (b^a)

b ln a ? a ln b

Числа положительные, можно делить:

(ln a) / a ? (ln b) / b

Получается, нужно сравнить значения функции f(x) = (ln x) / x в точках a и b

Исследуем эту функцию. Найдем экстремумы на [1; +∞]. Берем производную

((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2

Таким образом, на [1; +∞] единственным нулем производной будет x = e. При бОльших x функция монотонно убывает,

поэтому если a>е и b>е, то из a>b следует (ln a) / a < (ln b) / b, откуда a^b < b^a.

[Reflex]

((ln x)/x)' = ((ln x)' x - x' (ln x)) / x^2 = ((1/x)x - 1(ln x)) / x^2 = (1 - ln x) / x^2
а вот это почему?

а если 0<a<1/e и 0<b<1/e

[Reflex]

На самом деле мне нужно найти Lim X^x x->0
помогите пожалуйста

Сообщение отредактировано: Reflex - 9.11.2006 4:47