А мне тут стало интересно, вообще вот у нас есть какая-то функция удовлетворяющая данным условиям, а именно: всюду непрервна и нигде не монотонна, что можносказать про дифференцируемость этой функции, правда ли то что какая бы ни была бы функция, то она нигде не дифференцируема?

Доказал что всюду она диференцируема быть не может, теперь интересно, может ли она быть хоть где-то дифференцируема. Странно зачем нужна такая функция, правда фактов за ней интересных тянеться много.

Не совсем понимаю, чем в данном случае доказательство про "всюду" так уж сильно отличается от доказательства про "хоть где-то". Покажи свое доказательство - посмотрим..

ну доказательство про всю использует что производная если достигает a и b,то она достигает все значения между a и b. А вот как доказать что она не может быть дифференцируема в точке я пока придумать не могу.

Честно пытался вникнуть - не получилось. Напиши подробнее, пожалуйста.

А вообще-то эта функция может иметь производную в отдельных точках.. Пример: та самая "молния", промодулированная cos^2(x). В п/2 у нее будет производная, равная нулю. При этом она сохранит немонотонность, насколько я понимаю.

Кхм... тоесть ты хочешь сказать, что если наша молния - f(X), то cos(f(x)) - непрерывна, не монотонна и имеет производную в точке 3/2? А можно по подробнее? мое доказательство вывешу ближе к вечеру.

Нет, если молния это f(x), то
g(x) = f(x)*cos^2(x)
- вот эта функция имеет производную, равную нулю в точке п/2 (то есть приблизительно 1.5707..)

А... понял, но как это доказать все равно не очень вижу, вааапще кажеться страннным что эта функция будет удовлетворять нашим требованиям, ну про то что она будет не прерывна, я сно она являеться произведением двух непреррывных функций, но вот почему она все равно будет не монотонна, не ясно а про то что она будет дифференцируема еще не думал, но этот факт тоже не кажется тривиальным.

а про мое доказательство:

смотри ведь если эта функция нигде не монотонна то на любом интервале она будет иметь производную любого знака, тогда выберем любую точку у будем брать интервалы в которой лежит эта точка и каждый из них будет как минимум в два раза меньше предыдущего, и при этом на его концах будут разные знаки. Заметим что эта последовательность стремиться к нашей выбранной точке. Тогда по теореме о том, что производная принимает все значения на отрезке, то в этой точке производная будет равна 0, ну а тогда для любой точки она равна 0 - противоречие.

Согласен.

lapp, чет я не допираю как доказать что новая функция не монотонна, и то что у нее есть производная в точке п/2.

arhimag, я тоже кое-что не догоняю.. Вот ты пишешь:

Что-то у меня с памятью.. Не могу вспомнить такую теорему. Приведи формулировку, плз..

я то тебе сейчас приведу, а ты мне?
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то функция f′(x) принимает на интервале (a, b) все промежуточные значения между f′+(a) и f′−(b).

arhimag, спасибо за теорему, но я все же должен взять свои слова назад..

Нет, не согласен

Почему?
Кстати ты мне объяснишь почему F(x) * cos^2 x нигде не монотонна и прито в п/2 дифференцируема?

Доказал, что удовлетворяет нашим условиям, но вот почему она дифференцируема в точке п/2 досихпор не понимаю.

Кхм... lapp, ты прав, доказал и второе, но думал над этим много. мне кажеться что reflex завела интересный разговор, можно еще поисследовать подобные функции.