1. Найти интервалы возрастания и убывания и точкм экстремума : у = е^x * cosx.
Точки экстремума я нашла , а вот записать интервалы возрастания и убывания с учётом периода не могу...
Как будет правильно?

2. как найти здесь производную - y = xln|x|, модуль сбил с толку....

Какие могут быть затруднения, если точки экстремумов найдены? Промежутки возрастания и убывания расположены между экстремумами, чередуясь:
... - возрастание - убывание - возрастание - убывание - ...
Достаточно посмотреть, что происходит (возрастает или убывает) на одном конкретном промежутке, и от него плясать в обе стороны..

Смотри, я демонстрирую обший принцип работы с модулем. Используй его всегда, когда встретишь модуль.
По обпределению, модуль есть:

- большую фигурную скобку тут я изобразил не очень похоже, но это она.
Всегда, когда в условии стоит |f(x)|, надо разбить решение на две части. Отдельно решить для случая, когда f(x)>=0 и потом для случая, когда f(x)<0. В нашем случае:

1. x>0.
При x>0 будет |x| = x. По этому равенству заменяем модуль на то, чему он равен, то есть x. Получаем:
y = x*ln(x)
Дифференцируем это выражение и получаем ответ.

2. x<0.
При x<0 будет |x| = -x. По этому равенству заменяем модуль и получаем:
y = x*ln(-x)
Дифференцируем это выражение и получаем ответ.

Случай с х=0 выпадает, так как ln(0) не определен.
Еще разок: если в условии есть модуль, то решение распадается на две части (или больше, если модулей несколько).
Ясно?

И даже если ln x доопределить в x=0 то это ничего не изменит т.к.

dif(F(x),x) - производная F(x) по переменной x

dif(f(g(x)),x)=dif(f(g(x)),g(x))*dif(g(x),x)

а функция |x| в точке x=0 не дифференциируема => любая функция содержащая |x| в точке x=0 не дифференциируема по х.