И вновь обращаюсь с вопросами, на картинке пример и то место, докуда я смог его дорешать, возможно уже где-то ошибся, наведите на путь истинный, пожалуйста.

В чём проблема то ?
С учетом начального условия тангенс y= x и есть решение. Вроде так.

Я не знаю как дальше продолжить решать, вот в чём проблемка, если нетрудно отпиши как у тебя вышел тангенс, а то я не понял.

с1=0, разделяем переменные, интегрируем и получаем ответ

А мы имеем право обнулять С в данном случае ?

У нас есть начальное условие: производная от нуля рана 1, а это может быть только в одном случае с1=0, т.к. y'=cos^2(y)+c1 ,подставляя у=0 получим y'=1+c1, а это равенство выполняется только при с1=0.