Я могу, конечно, написать некоторые пояснения, но от них не будет толку, если ты не разберешься с определниями..
Цитата
Допустим что, ε>0. Нужно найти δ>0
Не "допустим", а "берем произвольное ε>0". Это очень важно - понимать, что ε нам как бы ДАНО, и наша найти (подобрать) для этого числа ε такое число δ, чтобы для всех x, входящих в δ-окрестность с выколотой точкой x, значения функции попадали в ε-окрестность предполагаемого значения предела.
Цитата
0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<ε Почему?
Это и есть выражение условия в определении (написанное мной выше словами)
Цитата
Заметим что:
|xsin(1/x)|<=|x||sin(1/x)|<=|x| Почему?
Тут в первом неравенстве ошибка (не влияющая на исход доказательства) - должно быть равенство. Не знаю, кто ошибся - ты, когда переписывал, или преподаватель, когда писал на доске. Модуль произведения равен произведению модулей.
А второе неравенство вытекает из того, что модуль синуса не превосходит 1.
Цитата
Допустим, δ=ε, что означает:
0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<=|x|<δ=ε Почему?
Повторяю: смысл доказательства заключается в подборе подходящего числа δ. Подбор этот обычно протекает так: берем некоторое его значение (например, как тут, положим его равным числу ε) и пытаемся доказать, что при нем условие определения будет выполнено. По идее, если это доказать не получается, то нужно продолжать поиск (брать другие значения). Но, ясное дело, в доказательстве, которое учитель проводит на доске, значение будет взято правильно с первой попытки )). Какой смысл брать те значения. которые не приведут к выполнению условия, если нужное значение известно?
То есть, глупо было бы, например, пробовать полагать δ равным 2ε - это слишком большая окрестность, значения функции вылезли бы за пределы. Когда же мы полагаем δ равным ε, то все в порядке: х меньше δ, а xsin(x) и еще того меньше (все по модулю имеется в виду, мне лень ставить палочки)). Значит, xsin(x)<ε, и все хорошо
. Можно было бы взять даже и посильнее: положить δ равным, например, ε/2. Тогда окрестность по была бы еще меньше, и значения функции, если можно так выразиться, еще надежнее удовлетворяли бы нужному условию! И утверждение было бы доказано. Но это уже лишнее - это была бы не ошибка, но просто некрасиво.. Понимаешь? Число эпислон нам ДАНО, и, исходя из его значения, мы ПОДБИРАЕМ нужное число дельта. И если мы в результате можем описать способ надежного подбора на все случаи жизни (то есть при любых значениях ε>0), то мы тем самым доказываем, что данное число (в нашем случае это ноль) является пределом данной функции. Кстати, поэтому лучше писать так:
|xsin(1/x)-0|<=|x|<δ=ε
- подчеркивая тем самым, что мы доказываем стремление нашей функции к нулю.
Перечитай несколько раз, если не поймешь - я попробую объяснить еще подробнее..
И обязательно разберись с определениями! Поскольку существует два эквивалентных подхода, то возможна путаница.
Был бы рад услышать любые идеи и предложения - как это понимать. Вроде, до сих пор слабоумием не страдал 
