Понятие о Пределах, lim Опции

[Perfez]

Вчера я впервые ощутил на себе, что такое быть "туристом" на уроке математики - чувствуешь себя идиотом. полным.
Как не странно, такие функции как просто переписывать с доски ещё не атрофировались - и сейчас я усиленно занят расшифровкой и осмыслением "концепта лимитов". "С лимитами я знаком" - так мне казалось до вчерашнего дня.

Вот что я cрисовал c доски на уроке математики вчера:

Задача:

f(x)=xsin(1/x)
D(f(x))=ℝ-{0}
Доказать что, lim_x→0f(x)=0



Доказательство:

Допустим что, ε>0. Нужно найти δ>0

0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<ε Почему?

Заметим что:

|xsin(1/x)|<=|x||sin(1/x)|<=|x| Почему?

Допустим, δ=ε, что означает:

0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<=|x|<δ=ε Почему?

Quod Erat Demonstrandum (Доказано)

Cловом, почемучка я Был бы рад услышать любые идеи и предложения - как это понимать. Вроде, до сих пор слабоумием не страдал

[Lapp]

"С лимитами я знаком" - так мне казалось до вчерашнего дня.

А приведи определение предела функции, с которым ты знаком. Все, что тут написано - это доказательство по т.н. "определению на языке эпсилон-дельта". Есть альтернативное (но эквивалентное) "определение через последовательности". С каким знаком ты?

[Lapp]

Я могу, конечно, написать некоторые пояснения, но от них не будет толку, если ты не разберешься с определниями..

Допустим что, ε>0. Нужно найти δ>0

Не "допустим", а "берем произвольное ε>0". Это очень важно - понимать, что ε нам как бы ДАНО, и наша найти (подобрать) для этого числа ε такое число δ, чтобы для всех x, входящих в δ-окрестность с выколотой точкой x, значения функции попадали в ε-окрестность предполагаемого значения предела.

0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<ε Почему?

Это и есть выражение условия в определении (написанное мной выше словами)

Заметим что:
|xsin(1/x)|<=|x||sin(1/x)|<=|x| Почему?

Тут в первом неравенстве ошибка (не влияющая на исход доказательства) - должно быть равенство. Не знаю, кто ошибся - ты, когда переписывал, или преподаватель, когда писал на доске. Модуль произведения равен произведению модулей.
А второе неравенство вытекает из того, что модуль синуса не превосходит 1.

Допустим, δ=ε, что означает:
0<|x|<δ ⇒ |xsin(1/x)|<=|x|<δ=ε Почему?

Повторяю: смысл доказательства заключается в подборе подходящего числа δ. Подбор этот обычно протекает так: берем некоторое его значение (например, как тут, положим его равным числу ε) и пытаемся доказать, что при нем условие определения будет выполнено. По идее, если это доказать не получается, то нужно продолжать поиск (брать другие значения). Но, ясное дело, в доказательстве, которое учитель проводит на доске, значение будет взято правильно с первой попытки )). Какой смысл брать те значения. которые не приведут к выполнению условия, если нужное значение известно? То есть, глупо было бы, например, пробовать полагать δ равным 2ε - это слишком большая окрестность, значения функции вылезли бы за пределы. Когда же мы полагаем δ равным ε, то все в порядке: х меньше δ, а xsin(x) и еще того меньше (все по модулю имеется в виду, мне лень ставить палочки)). Значит, xsin(x)<ε, и все хорошо . Можно было бы взять даже и посильнее: положить δ равным, например, ε/2. Тогда окрестность по была бы еще меньше, и значения функции, если можно так выразиться, еще надежнее удовлетворяли бы нужному условию! И утверждение было бы доказано. Но это уже лишнее - это была бы не ошибка, но просто некрасиво.. Понимаешь? Число эпислон нам ДАНО, и, исходя из его значения, мы ПОДБИРАЕМ нужное число дельта. И если мы в результате можем описать способ надежного подбора на все случаи жизни (то есть при любых значениях ε>0), то мы тем самым доказываем, что данное число (в нашем случае это ноль) является пределом данной функции. Кстати, поэтому лучше писать так:
|xsin(1/x)-0|<=|x|<δ=ε
- подчеркивая тем самым, что мы доказываем стремление нашей функции к нулю.

Перечитай несколько раз, если не поймешь - я попробую объяснить еще подробнее.. И обязательно разберись с определениями! Поскольку существует два эквивалентных подхода, то возможна путаница.

[Lapp]

Perfez, твое молчание не очень обнадеживает..
Осталось непонятно?

[Perfez]

Lapp, огромное тебе спасибо
Так. Я попытаюсь описать ситуацию
Моё знание пределов ограничивается так называемыми "замечательными" пределами и их следствиями - и соответственно, по стандартной "протоптанной" тропинке, упрощать/приводить всё остальное к ним. Не с определением через последовательности, не определением через ε-δ - увы, не знаком. Ни учебник, да и T.A. не особо помогают. Непонятливый я. Не понимаю именно концепта, логическую цепочку - каждая деталь по отдельности понятна, но не всё вообщем.

[Lapp]

Не понимаю именно концепта, логическую цепочку - каждая деталь по отдельности понятна, но не всё вообщем.

Это нормально. Хорошо, я сделаю еще одну попытку. Эта задача - тьфу, ничто. Главное - это именно консепт. Я попробую помочь. Только дай мне немного времени.. ок?

[Perfez]

Конечно, ок