..да вот не очень оказалось для меня простым) Попалось сегодня на пробном ЕГЭ.

(sin2x-2cos²x)/sqrt(sinx)=0

D(f)=(0,1].

Далее sin2x-2cos²x=0

2sinx*cosx-2cos²x=0

Ну и я без задней мысли делю обе части на cosx..

2sinx-2cosx=0
sinx=cosx, это выполняется при x=(pi/4)+2pi*n, n принадлежит z.

Ну и вроде все, один корень, а училка мне и говорит, мол, нельзя делить обе части на cosX, ты так, якобы, "теряешь один корень". Я не понял, вроде всегда можно было так делать, но более вразумительного объяснения не добился. Она показала решение без деления, немного по другому, с выносом cosx за скобку, и действительно, там получилось 2 корня. В чем соль?

Правильно говорит. И никогда нельзя было делить. А если cos(x) = 0?

Эмм, и правда.. ну тогда наверное можно обработать случай, когда cosx=0, в её решении такой корень второй и получился.

Кстати, для ЕГЭ и прочих тестов очень типичные ловушки.
Деление на (возможный) ноль, возведение в квадрат без проверки знаков...