Число 15 можно записать как сумму последовательных натуральных чисел: 15 = 1 2 3 4 5. Число 18 тоже можно записать как сумму последовательных натуральных чисел: 18 = 3 4 5 6. Существуют ли числа, которые нельзя записать подобным образом, и если да, то какие это числа?

Рассмотрим разложение нечётного числа (2N+1) на два слагаемых K и (K+1).
2N+1=K+K+1
2N=2K
N=K
Т.е. решение существует. Исключением только является натуральное число 1, т.к. для него нет решения в натуральных числах.

Рассмотрим разложение чётного числа (2N) на три слагаемых K, (K+1), (K+2)
2N=K+K+1+K+2
2N=3K+3
3K=2N-3
Очевидно, что разложить на три слагаемых получится только при N кратном 3. Значит перебором можно найти какое-нибудь минимальное число N, не кратное 3. Так при N=2 получаем число 4, которое нельзя представить суммой из трёх последовательных натуральных слагаемых. Также число 4 нельзя представить и в виде суммы большего числа слагаемых, т.к. уже сумма первых трёх натуральных чисел равна 6.

Рассмотрим разложение чётного числа (2N) на четыре слагаемых K, (K+1), (K+2), (K+3)
2N=K+K+1+K+2+K+3
2N=4K+6
2K=N-3
Очевидно, что невозможно разложить на четыре слагаемых число 2N с чётным N. Так при N=2 получаем число 4, при N=4 получаем число 8, которые нельзя представить суммой четырёх и менее слагаемых.

Итак, уже при рассмотрении начальных случаев с двумя, тремя и четырьмя слагаемыми выявили числа, которые невозможно представить в виде сумм нескольких последовательных натуральных чисел. Это числа 1, 2, 4, 8.