Нужна помощь - доказать что ∑((-1)^[n^0.5])*(n^(-1)) сходиться ([] - целая часть)

Первое соображение расставить собки чтобы получить знакочередующийся ряд:

-(1+1/2+1/3)+(1/4+..+1/8)-(1/9+..1/15)+....+(1/(2k)^2+..+1/((2k+1)^2-1))-(1/(2k+1)^2+..+1/((2k+2)^2-1))+...

=> остаеться что члены такого ряда монотонно убывают... но как это сделать не могу сообразить

Во-первых, заметим, что в каждом к-м члене слагаемых ровно на два больше, чем в (к-1)-м. Очевидно, что первое слагаемое к-1 члена больше первого слагаемого к-го, второе больше второго и т.д. Остались только эти самые последние два слагаемых к-го. А для них можно доказать, что их сумма меньше, чем разность первых слагаемых (к-1)-го и к-го, что уже легко.

Я об этом думал, но никак не пойму как это грамотно доказать? Что с какого то номера это будет верно в принципи очевидно - но доказать то как?


И еще - как доказать что в данном случае скобки не влияют на сходимость?

Это будет верно уже с первого номера. Просто выпиши эти четыре дроби в общем виде, приведи к общему знаменателю и посмотри.

А скобки не влияют - мы можем суммировать в любом порядке, главное не переставлять слагаемые.

а для любово доказывать индукцией??? Никто ж не гарантирует что скажим для n=1000 это верно
=> надо доказать
индукцией как то не получаеться...



наглядный пример
1-1+1-1+1-1+1-1+...
и
(1-1)+(1-1)+(1-1)+.....

=> тоже нужно доказывать...