Теорема такая: Если функция имеет в точке производную справа (слева), то она непрерывна в этой точке справа (слева). По идее доказательство простое, но у меня в тетради оно неполное и полностью доказать не могу.

Напиши, что у тебя в тетради. Дополним
Понимаешь, подходы бывают разные. Надо знать, какой именно использовался у вас в лекциях.

Предполагаемый ход доказательства: Предположим противное (для точки а)- пусть существует f'(а+0)=
=lim [ ( f(x) - f(a) )/(x-a) ] при x->а+0, =>для близких к т.а х существует B>0 что | ( f(x) - f(a) )/(x-a) |<B => |f(x) - f(a)|<B*|x-a| =>f(x)->f(a) при X->a+0 => f(x) непрерывна.
Может быть оно конечно и полное, но мне не понятное. Ведь по определению функция непрерывна в т.а справа, если lim f(x)=f(a) при х->а+0. А здесь В>0 какое-то, откуда оно взялось непонятно.

Доказательство полное и корректное. Попробую объяснить..

Что такое В? Очень просто. Из условия существования производной следует, что предел разности значений функций, деленых на разность аргументов, существует (и конечен). Допустим, производная равна 2. Это значит, что отношение разностей в некоторый момент (при стремлении х к а) станет меньше 3 (я взял любое число, большее 2) и никогда уже не перешагнет через 3. Домножаем неравенство на разность иксов и видим, что разность функций всегда меньше, чем разность иксов, домноженная на В (в нашем случае - 3). Но последовательность разностей иксов, даже домноженная на 3, стремится к нулю. А последовательность разностей функций всегда меньше ее. Значит, она тоже стремится к нулю. А это значит, что значения функции стремятся к f(a).

Если все же непонятно - пиши.

Спасибо, теперь понятно.