Счетность действительных множеств, я запутался Опции

[CatWarrior]

Вопрос прост:
Множество всех действительных чисел - счетно или нет?

Я учусь на 2 курсе. Нам учитель прочитал доказательство теоремы в которой говорится что все действительные числа счетны.
(У меня правда подозрения на то что может это были только алгебраические числа, хотя в заголовке строго говорится о действительных)

Но до этого у него было доказательство теоремы о том что все действительные числа на отрезке [0,1] несчетны (да и на любом другом).

т.е. Вроде как очевидно получается что Множество всех действительных чисел несчетно. Но в нете точного ответа не найдешь одни люди говорят одно другие другое.

[Lapp]

Как обещал - исправляю свои ошибки. Еще раз прощу извинения - я отвечал в перерывах, пока копировался системный диск (в несколько этапов, ввиду зоопарка стандартов), который полетел на сервере, и видимо моя башка не до конца переключалась.

Итак,
1. Множество действительных чисел несчетно, док-вом является диагональ Кантора. Его мощность зовется мощностью континуума (от слова "непрерывный"), или "c".

2. Рациональные числа - это те, которые представимы в виде p/q (от слова "рацио", отношение). Я их зря сюда вообще тогда приплел. В десятичном виде они представляют собой конечные или периодические дроби (что одно и то же, если приписать 0 в периоде. Их множество счетно, то есть имеет мощность алеф-ноль.

3. Алгебраические числа - это числа, являющиеся корнями многочлена с целыми коэффициентами (можно, впрочем, сказать и с рациональными, результат будет тот же, как легко видеть). То, что они выходят за рамки рациональных, легко видеть, доказав, что квадратный корень из 2 не может быть представлен в виде дроби. Конечно, их множество счетно (то рассуждение, которое я привел вчера, остается в силе).

4. Существование трансцендентных чисел следует из того, что множество алгебраических чисел счетно, а действительных - несчетно. Отсюда же следует, что их множество континуально. Пример - число "пи" или "е".

Вот, по сути и все. Досадную чушь я вчера наплел.. Не особо много, но математика не терпит даже малейших ошибок .
И последнее замечание. Мы с тобой все это говорили в день 88-летия со дня смерти Георга Кантора, 6 января 1918. Он родился в 1845 г в Петербурге, но в России не учился и не работал. Он был, наверное, одним из самых великих математиков. Мир праху его.

Сообщение отредактировано: lapp - 7.01.2006 11:07