Помогите доказать теорему о производной Опции

[Gerc]

Теорема такая: Если функция имеет в точке производную справа (слева), то она непрерывна в этой точке справа (слева). По идее доказательство простое, но у меня в тетради оно неполное и полностью доказать не могу.

[Gerc]

Предполагаемый ход доказательства: Предположим противное (для точки а)- пусть существует f'(а+0)=
=lim [ ( f(x) - f(a) )/(x-a) ] при x->а+0, =>для близких к т.а х существует B>0 что | ( f(x) - f(a) )/(x-a) |<B => |f(x) - f(a)|<B*|x-a| =>f(x)->f(a) при X->a+0 => f(x) непрерывна.
Может быть оно конечно и полное, но мне не понятное. Ведь по определению функция непрерывна в т.а справа, если lim f(x)=f(a) при х->а+0. А здесь В>0 какое-то, откуда оно взялось непонятно.