Как интегрировать выражения с радикалами?, Не могу понять Опции

[Gerc]

Объясните, пожалуйста, как интегрируются выражения вида (картинка в файле). Там не очень понятно написано

[Gerc]

Фух! Похоже я не вовсем объяснил, что я именно не понимаю. Буду писать подробно, чтобы было понятней, надеюсь хватит терпения дочитать до конца.

Ну, вообще то я пытаюсь понять, не что нужно сделать, чтобы синтергировать ту или иную функцию, а прежде всего, суть самого метода интегрирования таких выражений, т.е. его обоснование, откуда что взялось, на чем это основано, т.е. должно плавно вытекать из предыдущих методов интегрирования. Но эта тема (не только на картинке, но и в учебнике) совсем не плавно вытекает из предыдущего (как будто страницу вырвали). Странно, но многие темы, доказательства теорем матана я осваивал сам без взяких проблем по учебнику (когда приходилось пропускать пары). Но с такой бякой я еще не встречался.

Ну во первых, такую запись "интеграл от"R(x,корень степени m из (ax+b)/(гамма*у+дельта)) я лично вижу первый раз. Не в школе, не в ВУЗЕ я ее не встречал. Где-то пишут, что это рациональная функция от 2-х аргументов. Но у нас функция от одного аргумента, от Х!
Такой простой пример я взял, чтобы также понять суть этого метода, заглянув с другого угла, чтобы разобраться, каким образом функция синтегрировалась, т.е. вроде ответ правильный, но на каком основании были сделаны эти действия? Ну скажем так, пусть я еще не знаю метода интегрирования выражений, содержащих радикалы, а изучил все до этого, в том числе и метод подстановки. Тогда нам нужно прежде всего определиться, что у нас будет f(t), что t=g(x) и что тогда f(g(x)) (см. определение метода подстановки выше). Судя по тому решению, я сделал вывод, что f(t)=t^2, t=g(x)=корень из (x), f(g(x))=(корень из (х))^2. Если посмотреть, что делается дальше, то можно сказать, что метод подстановки используется неправильно, т.к. по правилу нужно дифференцировать g(x) и умножать на f(g(x)), а в моем простом примере делается наоборот.
И так вопрос: Можно ли интегрировать мой простой пример методом подстановки, если нет, то на основе каких теорем, свойств и т.д это делалось?

Можно взять и более сложный пример: "интеграл от"(х+1/х-1)^(1/3). Повторю еще раз, мне главное выяснить теорию, обоснование на основе теорем, свойств, ранее использованных методов.