множества,подмножества......, доказать теорему Опции

[maxs]

Люди добрые,помогите!!!никак не могу доказать теорему:подмножество счетного множества конечно или счетно.дело в том что док-во необх провести с исп-ем теоремы о промежуточном множ-ве

[Lapp]

Если множество счетно, то каждому элементу можно поставить в соответствие одно натуральное число (занумеровать). Будем называть это число индексом. Возьмем некоторое подмножество исходного множества (то есть элементы вместе с их индексами) и расположим его элементы в порядке возрастания индекса. Это значит, что сначала возьмем элемент с минимальным индексом (он должен быть, так как множество нат. чисел ограничено снизу - либо подмножество пусто), затем возьмем элемент с минимальным индексом из оставшихся, и т.д. Если на каком-то этапе мы не можем найти минимальный из оставшихся, то наше подмножество конечно, если всякий раз можем - то счетно (номер присваиваем в порядке выбирания элементов).
Теорема доказана.

[maxs]

ох ,спаисбо!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!премного благодарен.только вопрос :здесь каким то образом применялась теорема о промежуточном множестве???

[Lapp]

здесь каким то образом применялась теорема о промежуточном множестве???

Нет. Я почему-то подумал, что надо без нее.