МАТАН, Ряды Опции

[oleg309]

Немного поразмыслив пришёл вот к такому выводу (спосибо fms):
lim [1/(n*ln(n+1))] = lim 1/(ln (lim (n+1)^n))
В знаменателе бесконечность, а единицу поделив на бесконечно большое число имеем 0. Так?

[Atos]

Так, только запись немного некорректная: нельзя lim под логарифм заносить, преподы убъют.

[oleg309]

В одном учебнике видел такой пример. Почему?

[oleg309]

Цитата из задачника Демидовича:

"...полезно знать, что если существует и положителен lim f(x) (при х -> а, то

lim [ln f(x)] = ln [lim f(x)].

[fms]

Демидович - это святое..

[Atos]

"если существует и положителен". А в нашем случае он равен бесконечности, т.е. как бы не существует. Мы ведь не умеем логарифмы от бесконечности считать?

[oleg309]

Всем привет! Возникла такая проблема: исследую ряд

...+ ((2n+1)/(3n+1))^(n/2)+...

предел общего члена ряда равен 1 (?), не равен нулю, значит ряд расходится, а в ответе "сходится" в чём моя ошибка?

[oleg309]

А может я не тем методом решаю? ПОдскажите каким..

[Catty]

предел общего члена ряда равен 1 (?), не равен нулю, значит ряд расходится, а в ответе "сходится" в чём моя ошибка?

вполне возможно что ошибка в книге!

[fms]

...+ ((2n+1)/(3n+1))^(n/2)+...

предел общего члена ряда равен 1 (?),

а с чего ты взял, что предел равен 1?!

[oleg309]

Вот моё решение:

lim ((2n+1)/(3n+1))^(n/2)=lim (1+((-n)/(3n+1)))^(n/2)=

=lim [(1+((-n)/(3n+1)))^((3n+1)/(-n))]^((-n^2)/(6n+2))=

=e^(lim ((-n^2)/(6n+2)))=e^0=1

В чём моя ошибка?

[oleg309]

Ребята, помогите!

[HelpAusHeaven]

Всем привет! Произошла очепятка, общий член ряда выглядит вот так:

1/(n*ln(n+1)) Как найти его предел?

И чем эта задача отличается от предыдущей твоей?

[HelpAusHeaven]

Вот моё решение:

lim ((2n+1)/(3n+1))^(n/2)=lim (1+((-n)/(3n+1)))^(n/2)=

=lim [(1+((-n)/(3n+1)))^((3n+1)/(-n))]^((-n^2)/(6n+2))=

=e^(lim ((-n^2)/(6n+2)))=e^0=1

В чём моя ошибка?

погоди, а n куда стремится?

[HelpAusHeaven]

Вообще, если:
n -> бескн, то ответ = 0
n -> 0, то ответ = 1

[oleg309]

n стремится к беск. тогда предел равен нулю, но ведь это ещё ни о чём не говорит (выполнен только необходимый признак сходимости) значит надо решать другим методом. Подскажите каким..? :p2:

[HelpAusHeaven]

М... действительно тут получается неопределенность вида: беск/беск...
Попробуйте по правилу Лопиталя (т.е. взять производную отдельно числителя и знаменателя), а далее посмотреть не получилось ли чего явного;)

[oleg309]

Попробуйте по правилу Лопиталя (т.е. взять производную отдельно числителя и знаменателя), а далее посмотреть не получилось ли чего явного

По правилу Лопиталя мы опять найдем какой то предел, если ноль - рядлибо сходится, либо расходится (необходимый признак сходимости), если не равен нулю значит ряд расходится, но в ответе: "сходится" .

Тут мне в голову пришла мысль применить радикальный признак Коши:

lim (Un)^(1/n) = lim [((2n+1)/(3n+1))^(n/2)]^(1/n) =
lim ((2n+1)/(3n+1))^(1/2) = (2/3)^(1/2) < 1 => ряд сходится

(n -> к беск) Ну, а теперь что скажите Господа?

[HelpAusHeaven]

ты МатКадом проверь так только для самопроверки

[oleg309]

А что это такое?