Закон всемирного тяготения, Помогите вывести формулы. Опции

[-Александр-]

Помогите решить задачу.
Дано x1,y1,x2,y2,x3,y3. где x1,y1 координаты первого тела, координаты второго тела x2,y2, и соответствено x3,y3 координаты третьего тела. Даны так же массы этих трех тел M1,M2,M3. Выразить формулы для расчета конечного положения тел по истечению времени t. Все три тела находятся в космосе и на них не действует другие силы, кроме сил Всемирного тяготения этих трех тел друг на друга.
Помогите пожалуйсто, очень нужно.

[Lapp]

Дано x1,y1,x2,y2,x3,y3. где x1,y1 координаты первого тела, координаты второго тела x2,y2, и соответствено x3,y3 координаты третьего тела. Даны так же массы этих трех тел M1,M2,M3.

Для решения необходимы не только начальные координаты, но и начальные скорости тел.

Тебе нужно составить систему дифференциальных уравнений для численного решения?

[-Александр-]

Скорости считать v0y1, v0x1, v0y2, v0x2, voy3,v0x3;

И мне нужно найти формулы конечных координат в зависимости от времени, для каждого тела. Чтобы формулы были понятны паскалю.

[Lapp]

Скорости считать v0y1, v0x1, v0y2, v0x2, voy3,v0x3;
И мне нужно найти формулы конечных координат в зависимости от времени, для каждого тела.

Система координат у тебя есть. Рассчитываешь расстояния между телами (грубо говоря, по теореме Пифагора, как корень из суммы квадратов разностей координат). Эти расстояния используешь в законе гравитации (собственно, там нужен квадрат расстояния, так что вычислять корень не потребуется). Все, конечно, в векторной форме (разложение по выбранной системе координат). Зная силу, записываешь для каждого тела второй закон Ньютона. Тем самым имеешь три дифференциальных уравнения для решения.

Чтобы формулы были понятны паскалю.

А тут физика заканчивается, и начинается вычислительная математика.. Имеешь полное право запостить тему в Алгоритмах или Задачах.. - что сочтешь более подходящим.

Могу тебе заранее сказать, что, несмотря на довольно простое начало, задача эта не так проста. Дело в том, что она сильно неоднородна. Точность вычислений очень зависит от самих величин (скоростей и ускорений). То есть тебе необходимо как минимум вводить переменный шаг интегрирования. Ладно, это уже разговоры для новой темы..

[-Александр-]

Расстояниями тут одними не обойтись, Ведь на каждое тело действуют по две силы, чтобы их сложить надо знать угол между ними (это найти достаточно легко по теореме косинусов) в итоге мы находим сумму этих двух сил, чтоб спроицировать эту силу на оси координат, нам надо опять же найди угол между силой и осью Х, путем сложных вычислений я его нахожу, но в итоге у получаются такие здоровенные формулы которые записываються в несколько строчек


Если диффиринциальными уравнениями будет короче, то ты бы не мог мне их написать. А то моих знаний пока не достаточно.
P.S. Только что начили проходить диффирициальные уравнения.

[Lapp]

на каждое тело действуют по две силы, чтобы их сложить надо знать угол между ними

Зачем тебе угол между ними?.. Сложи их компоненты - да и все..

Расстояние между телами 1 и 2:
R12^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
R12 = Sqrt(R12^2)

Сила, действующая на тело 1 со стороны тела 2:
F12 = (m1*m2)/R12^2

Составляющая по х этой силы:
F12x = F12*Cos(Alpha) = F12*(x2-x1)/R12

Составляющая по х силы, действующей на тело 1 со стороны тела 3:
F13x = F13*(x3-x1)/R13

Составляющая по х полной силы на тело 1 со стороны обоих тел (2 и 3):
F1x = F12x + F13x

Составляющая по у той же силы:
F1y = F12y + F13y

Вот и все. У тебя есть сила, делишь ее на массу и получаешь ускорение. Как видишь, никаких многоэтажных формул.. Простой заменой индексов получаешь силы на остальные тела. Если вопользоваться массивами, то количество тел можно увеличивать безгранично..

Я тут, правда, схитрил . Я неаккуратно обошелся со знаками. Этому нужно уделить отдельное внимание при программировании. Впрочем, не уверен, что это неправильно .

[-Александр-]

Логично! Это в несколько раз упрощает задачу! Спасибо!

[Lapp]

Тема разделена.
Продолжение темы (численные методы расчетов) здесь:
Гравитация, задача трех тел