Вычислительная математика, Дрказать графическими и аналитическими методами существования корня Опции

[dron4ik]

Всем Привет! Не могу понять как можно вычислить или доказать что у уравнения 3cos2x-x+0.25 существует единственный корень на отрезке [-2.5;-1.8]?
Доказать нужно аналитическим методом.
Построить рабочие формулы методом простых итераций результирующий процесс поиска корня линейного уравнения на указанном отрезке.
знаю что на концах отрезка функция меняет знак а производная монотонно убывает на отрезке [-2.5-1.8]

[мисс_граффити]

эммм... а теорема о существовании единственного корня на отрезке не катит?
или по сути ее и надо доказать?

[dron4ik]

Вроде как ее и нужно доказать. Вы бы не могли бы мне подсказать приближенное значение корня?(С-?)

Добавлено через 8 мин.
А что самое интересное что еще нужно составить программу на языке программирования Pascal или Делфи и с её помощью решить уравнение с точностью до тысячных и сотых.

[мисс_граффити]

программы - в поиск...
Доказательство....

http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/index.html
Глава "Непрерывность функции на интервале и на отрезке" - доказательство того, что хотя бы один корень существует.

[dron4ik]

Я выяснил. В этом уравнении нет решения!тк подстановка двух значений из отрезков -2.5 и -1.8 в производную то производная получается двух значения положительная следавтельно нет решений и функция на концах отрезка не меняет знак!

[мисс_граффити]

Бред полнейший

[dron4ik]

Почему бред???? если производная этой функции -6sin2xcos2x

Добавлено через 5 мин.
это не бред! тк производная в двух случаях одинакова по знаку а следовательно нет решения

[мисс_граффити]

Картинку в прошлом сообщении посмотри.
Поймешь, почему бред.

Знак производной показывает только что происходит с функцией (возрастает она или убывает). К пересечению ею оси никакого отношения не имеет.
Знаки должны быть разные не у производной, а у самой функции

[dron4ik]

А что мне тогда делать дальше? я даже незнаю.

[Айра]

Ну смотри, ты показываешь, что функция имеет разные знаки на концах отрезка. Следовательно ось х она пересекает и корни есть. Потом нужно доказать, что корень только 1. А это, думаю, уже исходя из поведения производной.

[Belchonok]

Имхо, всё, что вам нужно для решения данной задачи, это: 1) определить, является ли функция возрастающей или убывающей (без разницы, и то и то докажет ваш случай) на заданном промежутке, потому что единственный корень функ имеет только тогда, когда явл. на этом промежутке возрастающей или убывающей.
2) Ну, а тот факт, что функ имеет разные знаки на границах этого промежутка, как вам уже сказали, -- согласно ещё одному свойству -- показывает, что уравнение на данном отрезке имеет хотя бы один корень.
Другими словами, исследуйте эту функцию на фозрастание / убывание.

Про программу на Паскале уже интереснее, хотя я не очень поняла: вам надо просто составить программу для расчёта значений этого уравнения с заданной точностью, или составить программу, которая будет решать задачу применительно к этому заданию???

Сообщение отредактировано: Belchonok - 9.10.2008 20:24

[Айра]

1) определить, является ли функция возрастающей или убывающей (без разницы, и то и то докажет ваш случай)

Скорее только второе, ибо в первом случае получается бред: функция из плюса возрастает в минус ))

[dron4ik]

Мне надо просто составить программу для расчёта значений этого уравнения с заданной точностью.

[Belchonok]

Скорее только второе, ибо в первом случае получается бред: функция из плюса возрастает в минус ))

Странно, у меня возрастает. Если на промежутке знак производной положительный -- возрастает. Если взять любую точку, например -2,0. У меня получается знак производной +. Хотя, может в расчётах где ошиблась...
"Возрастает из плюса в минус" -- вы имели в виду "убывает"?

Мне надо просто составить программу для расчёта значений этого уравнения с заданной точностью.

Если с исследованием функа на отрезке уже разобрались, то хм.. Попробуйте сделать программу...
Задаёте требуемую точность и вычисляете y. В цикле While или Repeat. Например, while y <= <указанная точность> do <вычисление выражения>; потом (т.е. не потом, а на каждом шаге) суммировать полученное y, и в следующем цикле проверять его..
Это очень-очень просто, не знаю, стоит ли объяснять. Да и раздел уже тому не соответствует

Сообщение отредактировано: Belchonok - 10.10.2008 1:11

[dron4ik]

Проблема в том что я незнаю как написать программу

[мисс_граффити]

1) определить, является ли функция возрастающей или убывающей (без разницы, и то и то докажет ваш случай) на заданном промежутке, потому что единственный корень функ имеет только тогда, когда явл. на этом промежутке возрастающей или убывающей.

Глупости...
Функция может сколько угодно раз менять поведение на этом промежутке.

Проблема в том что я незнаю как написать программу

В поиск. Все это было на форуме.
И вообще. Раздел как называется?

[Айра]

"Возрастает из плюса в минус" -- вы имели в виду "убывает"?

это была шутка исходя из

...является ли функция возрастающей или убывающей (без разницы, и то и то докажет ваш случай)

)
Ибо при подстановке получается, что в -2,5 функция положительная, а в -1,8 отрицательная (да и по рисунку видно), поэтому если производная будет положительной, то получится, что функция возрастает, а это противоречит тому, что мы имеем, следовательно, не "без разницы".. Но это не самое главное)

Функция может сколько угодно раз менять поведение на этом промежутке.

А если производная на этом отрезке будет строго отрицательна, то куда функция денется? по идее должна только убывать.. (правда что-то у меня не получается ее посчитать нормально )

Сообщение отредактировано: Айра - 10.10.2008 4:13

[мисс_граффити]

А кто сказал, что производная должна быть строго отрицательна?
Оль, не путай необходимые условия и достаточные.

[Belchonok]

Глупости...
Функция может сколько угодно раз менять поведение на этом промежутке.

Свойство: Если функция f возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня.

Ибо при подстановке получается, что в -2,5 функция положительная, а в -1,8 отрицательная (да и по рисунку видно), поэтому если производная будет положительной, то получится, что функция возрастает, а это противоречит тому, что мы имеем, следовательно, не "без разницы".. Но это не самое главное)

Просто берёте любую точку из этого интервала [-2.5; -1.8] и считаете в ней значение производной. Если знак производной + то сама функция возрастает.

поэтому если производная будет положительной, то получится, что функция возрастает, а это противоречит тому, что мы имеем, следовательно, не "без разницы".. Но это не самое главное)

Поняла.. Это была теория .
То есть -- выше написанное свойство говорит, что надо доказать, что функция или возрастает или убывает.
Я не рассматривала конкретно этот случай )
А если рассм. кокретно этот -- то конечно, функция будет или возрастать или убывать. Только.

Сообщение отредактировано: Belchonok - 10.10.2008 16:52

[мисс_граффити]

Belchonok "если А, то уравнение имеет не более одного корня" и "функция имеет единственный корень, ТОЛЬКО когда А" (А - функция возрастает или убывает).
Разницу не чувствуешь? Нарисовать картиночки, чтобы понятнее было?