Задания из ЦТ, Централизованное абитуриентское тестирование Опции

[Dead.MorozZ]

Помогите решить А2 и А3
Ответы: А2 - 5
А3 - 3
Если можно с коментариями. Хотелось ба понять ход решения.

[Lapp]

В А-2 нужно возвести каждый из вариантов ответа в куб по формуле куба суммы. При этом нужно учесть, что
(V5)^2=5
(V5)^3=5V5
(через V обозначен радикал).
Получаются слагаемые двух типов: с обычными целыми числами и с множителем V5. Привести подобные члены и сравнить с подКУБОкоренным выражением. Равенство может выполняться в том и только в том случае, если слагаемые целые равны с двух сторон И коеффициент при корне одинаковый. Иначе не может быть, так как V5 - это иррациональное число, оно не получается из целых посредстовм сложения.

В А-3 все гораздо проще. Нанеси все точки на тригонометрическую окружность, и увидишь, что все они попарно уничтожаются, кроме одного значения, которое накладывается последним (368 - 360 = 8)

[Dead.MorozZ]

Что - то насчет А3 не дошел:
Какие надо складывать попарно чтоб они взаимоуничтожались
и как в конце получить 368-360 ??

[Atos]

эти косинусы образуют вершины правильного многоугольника с центром в нуле. А сумма радиус-векторов вершин равна нулю.

[Lapp]

Да, верно, поспешил я.
Сумма всех, кроме одного, равна нулю.
Извиняюсь за ложную инфу.. Спасибо за исправление, Атос!

[Dead.MorozZ]

Спасибо!
Вот еще парочка заданий:

[Lapp]

Вот еще парочка заданий:

Дед, это нечестно.. По правилам ты должен был сделать новую тему. Атос, я прав?

[Dead.MorozZ]

Ничего подобного это все задания по олной и той же теме, поэтому я имею право кидать все возникшие вопросы по этой теме сюда

[Atos]

Вообще-то все задания на совершенно разные темы... Ну, ладно уж, на первый раз - пусть остаётся, а на будущее - следовать правилам!

[Dead.MorozZ]

Вообще-то все задания на совершенно разные темы...

Ну я вообще-то имел ввиду, что все задания из ЦТ

Кто нибудь еще чего-нибудь решил?

[Lapp]

Ну я вообще-то имел ввиду, что все задания из ЦТ

Не так важно, откуда взята задача. Это правило нужно, чтоб облегчить поиск. Тот, кто будет искать, скажем, задачи из ЦТ, будет обращать внимание на первый пост, и вероятность, что он пропустит глубоко закопанное условие, довольно велика. Но раз Атос не против - отвечу..

A6
Далее обозначаю Петю, Васю и Толю цифрами 1, 2 и 3.
Запишем условия задачи в форме неравенств.

Код

(А) L1 > L2+8c                       (1 обогнал 2 как минимум 8 раз)
    L1 < L2+9c или (Б) L2+9c > L1    (1 обогнал 2 не больше 8 раз)
(В) L1 > L3+c                        (1 обогнал 2 как минимум 1 раз)
    L1 < L3+3c или (Г) L3+3c > L1    (1 обогнал 3 не больше 2 раз)

Li - это расстояние, которое пробежал каждый;
c - длина одного круга.
В неравенстве В учтено, что 3 стартовал в другой точке, и 1 было легче его обгонять на первом кругу.
Складываем А и Г, получаем:
L3 > L2 + 5c .
Теперь складываем Б и В:
L3 < L2 + 8c .
Ответ: 5, 6 или 7 раз.

A10
Числитель раскладываем по формуле разности квадратов:
(9(x-3)^2 - (x+1)^2) * (9(x-3)^2 + (x+1)^2)
Второй множитель отбрасываем, т.к. он всегда положителен. Первый сомножитель снова раскладываем по той же формуле:
(3(x-3)-(x+1)) * (3(x-3)+(x+1)) = (2x-10)*(4x-8) = 8(x-5)(x-2)
Теперь рассмотрим знаменатель. 2^x - монотонно возрастающая функция, так что мы можем заменить знаменатель на разность степеней:
(x^2-4) - (4-2x) = (x-2)(x+2)+2(x-2) = (x-2)(x+4)
В итоге получаем:

(x-5)(x-2) / ((x-2)(x+4)) = (x-5) / (x+4)
(точка x=2 выколота)
Расставляем нули на отрезке [-6;9]

Код

     +       -        -      +
  -|---|------+----x-----|-------|-->
  -6  -4      0    2     5       9

Тут ноль показан только для ориентации. Точки смены знаков отмечены большими рисками. Точка 2 выколота, так что промежуток [-4;5] разбивается на два полуинтервала. Самый длинный отрицательный промежуток решения - [-4;2). Его длина равна 6. Это ответ №4, тогда как на картинке подчеркнут №3. Проверь арифметику, я мог ошибиться - как два байта..

A11
Нарисуем графики левой и правой части (приблизительно). Асимптоты левой части проходят в x=пи*n, а правой - в x=pi*n-pi/4. Из графика видим, что pi/2 может быть решением. Проверяем - да, решение. Второй корень, как видно из графика, лежит между 3/4*pi и pi. Таким образом, расстояние между корнями должно быть больше, чем pi/4, но меньше, чем pi/2. Теперь прикинем, чему равен arctg(3/7). Очевидно, что он меньше pi/4. Далее действуем методом исключения имеющихся ответов:
1. x < pi/4, не годится
2. pi/4 < x < pi/2, годится
3. x > pi/2, не годится
4. x > pi/2, не годится
5. корень не один, не годится
Ответ: №2

[Dead.MorozZ]

To: lapp
БольШое Спасибо!
Извиняюсь за невежливость
Просто на одном форуме меня за излишнюю благодарность забанили, расценив это как флуд

[Lapp]

на одном форуме меня за излишнюю благодарность забанили, расценив это как флуд

в каждом монастыре свой устав..