Пределы, их нахождение, Проблемы... Опции

[Clerick]

Помогите найти lim x^3/(x+1)^2 при x стремящемся к -1!!!

Заранее спасибо!!!

[мисс_граффити]

если (x^3)/((x+1)^2), то -бесконечность.
вроде даже неопределенностей не возникает...

а вот если x^(3/((x+1)^2)), то непонятно...

[Lapp]

если (x^3)/((x+1)^2), то -бесконечность

не совсем. К минус бесконечности, с обеих сторон

а вот если x^(3/((x+1)^2)), то непонятно...

- а такого просто не может быть, т.к. основание обязано быть положительным

[мисс_граффити]

lapp, я и написала, что минус бесконечность...
это не тире...

[Lapp]

lapp, я и написала, что минус бесконечность...
это не тире...

Извини, мисс_граффити.
Но постарайся избегать употребления математических символов в тексте, особенно в таких случаях (где возможно двоякое толкование). Чрезмерное стремление сократить текст для экономии времени часто приводит к обратному эффекту, причем многократному по величине.

[Гелла]

Здесь по-моему замену сделать надо: при х стремящемся к минус 1, y стремится к нулю, тогда х=y+1 и вычисляем предел при y стремящемся к нулю: lim(y+1)^3/(y+2)^2=lim(y^3+3y^2+3y+1)/(y^2+2y+4)=1.

Не уверена, что верно....

[Lapp]

замену сделать надо: при х стремящемся к минус 1, y стремится к нулю, тогда х=y+1 и вычисляем предел при y стремящемся к нулю

Подставляем y=0 в формулу замены и получаем x=1. То есть при y, стремящемся к нулю, х стремится к 1, а не к -1. Чтобы получить, к чему нужно стремить у, подставь в эту формулу х=-1. Получишь у=-2. А при у->-2 в знаменателе все равно будет ноль (при нелулевом числителе. То есть тот же самый результат. Так и должно быть, ибо здесь не было никакой неопределенности. Была четкая минус бесконечность, она и осталась. Это такой же жесткий результат, как и любое число. Вот если бы была неопределенность типа 0/0 или бесконечность/бесконечность - тогда имело бы смысл подифференцировать, поискать замены.. Но тут все ясно как день

[Clerick]

Появилась новая проблема.

Нужно найти lim ((x^2)-4)(x-2)/x при x ->бесконечности
lim [(((x+2)^2)^1/3)-(((x-2)^2)^1/3)]/x при х -> бесконечности

Заранее спасибо!!!

Сообщение отредактировано: Clerick - 21.03.2006 23:51

[мисс_граффити]

в первом преобразуем выражение:
(x^3-2x^2-4x+8)/x=x^2-2x-4+8/x
очевидно, что бесконечность (а можно и не преобразовывать... просто посмотреть, что в числителе степень намного выше).

во втором слишком громоздко писать...
но основная идея - умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение (чтобы дополнить числитель до разности кубов), потом раскрыть скобки, привести подобные....сократить на х.

[Lapp]

Касательно второго: почему так странно записано условие? почему степени не перемножены?
Мне кажется, тут все ясно без особых вычислений. Сначала убедимся, что числитель положителен (из большего числа вычиаем меньшее). Далее предположим, что предел равен нулю и попробуем это доказать. Заменим разность скобок в числителе на сумму (это будет аппроксимация сверху). Несложно видеть, что эта функция стремится к нулю. А значит и исходная функция стремится к нулю. То есть смысл на самом деле тот же, что и в первом: степень знаменателя выше степени числителя.
Метод мисс_граффити позволяет доказать то же самое без аппроксимации, хотя и требует некоторых (несложных) вычислений.

[мисс_граффити]

Касательно второго: почему так странно записано условие? почему степени не перемножены?

Мне кажется, в оригинале там был значок корня...

[Clerick]

Мне кажется, в оригинале там был значок корня...

Да, там действительно был корень! А вот почему степени не перемножил не знаю...

Спасибо!!!

[Clerick]

И снова никак не разберусь с пределами... Помогите!

Lim (x^2+8*x+3)/(2x+4)

И желательно бы с пояснением.

заранее благодарен!

[hardcase]

а какое условие предела?

[Clerick]

а какое условие предела?

Извиняюсь, забыл x->бесконечности.

[hardcase]

Извиняюсь, забыл x->бесконечности.

Значит ответ - бесконечность положительная потому как степенная функция всегда пересилит линейную: обе функции начиная с некоторого xn начинают возрастать, только степенная растёт быстрее линейной и поэтому у нас получится бесконечность.

[Lapp]

Значит ответ - бесконечность положительная потому как степенная функция всегда пересилит линейную

hardcase абсолютно прав, но я попробую привести еще одно объяснение.
Здесь нужно рассуждать примерно так.
При больших х и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности. Оба они имеют слагаемые, не зависящие от х - в числителе это 3, в знаменателе 4. Какими бы ни были эти слагаемые - хоть единицы, хоть миллиарады или даже 10^100, все равно они малы по сравнению с бесконечностью, к которой стремятся числитель и знаменатель. Значит, их можно отбросить:
(x^2+8*x+3)/(2x+4) ~ (x^2+8*x)/(2x)
(при х -> бесконечности).
Последнюю формулу можно сократить:
(x^2+8*x)/(2x) = x/2 +4
Последнее выражение представляет асимптотическое поведение исходной функции на бесконечности. Теперь легко видеть, что предел равен бесконечности.

[Clerick]

Спасибо!!!