Предлагаю через 5 дней (когда закончится срок сдачи работ) обсудить задания олимпиады "Покори Воробьевы горы". Среди них, я считаю, есть очень и очень стоящие. Хотелось бы знать ваше мнение...
Вот ссылка: http://www.mk.ru/student/test.asp?FacID=3

P.S.Сообщение о задачах по физике я оставил на форуме "Физика".

А почему 26?
В правилах:
для 11 классов:

для 9-10:


Задачи правда красивые (некоторые). Если не секрет, участвуешь?

//Сорри за оффтоп.

Вообще-то они продлили срок для 11 кл. до 25 января (Это у них такой был новогодний подарок ), но не везде успели исправить даты, а ты наверное посмотрела там, где не исправили.


Да, но написал плохо. Мне еще учиться и учиться...

Может, выложу свои решеньица.(Но только 26-го или после)

Наконец-то можно начать обсуждения работ!!!

может, сначала надо предоставить слово участникам? что решили, что получилось....

Ну-с, поехали!

Свои решения я пока выкладывать не буду, потому что есть такие товарищи, которые могут отправить работу почтой задним числом...
Но кое-что сейчас сказать все-таки можно.

Начнем с задач. Вот, собственно, задачи (с официального сайта их уже убрали):

------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Из пункта А вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В во встречном направлении выехал велосипедист. Они двигались с постоянными скоростями, и через час расстояние между ними равнялось 3 км, а ещё через час – 14 км. Найти расстояние между пунктами А и В.

2. Решить уравнение
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

3. Какие значения, в зависимости от параметра a, может принимать выражение
Нажмите для просмотра прикрепленного файла,
в котором числа x1, x2 – два различных корня уравнения x^3 – 2007x = a?

4. Существует ли такой прямоугольный треугольник, что увеличенные на 1 оба его катета и гипотенуза являются соответственно катетами и гипотенузой другого прямоугольного треугольника? Тот же вопрос, если все три стороны исходного треугольника не увеличивать, а изменять на 1, т.е. увеличивать или уменьшать – каждую по своему усмотрению.

5. Чему равно пятое (в порядке возрастания) из натуральных чисел n, удовлетворяющих неравенству
sin 1 + sin 2 + … + sin n < 0?

6. Окружность касается другой окружности в точке A, а её хорды BC – в точке D. Найти радиус второй окружности, если BC = 6 и угол BAD = 30°.

7. Решить уравнение
f(x, y, z) + |f(z, y, x)| = 0,
где обозначено
f(a, b, c) = (a + b + 2c + |a – b|) + |a + b – 2c + |a – b||.

8. Последовательность Нажмите для просмотра прикрепленного файла целых чисел для некоторой (неизвестной) константы k удовлетворяет при каждом натуральном n > 1 условию Нажмите для просмотра прикрепленного файла. Найти Нажмите для просмотра прикрепленного файла, если Нажмите для просмотра прикрепленного файла и Нажмите для просмотра прикрепленного файла.

9. Найти все тройки положительных чисел x, y, z, удовлетворяющие системе
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

10. Дан тетраэдр, две вершины которого отмечены. Для каждого натурального числа n выяснить, на какое наибольшее число частей могут разбить этот тетраэдр n плоскостей, каждая из которых проходит хотя бы через одну из отмеченных вершин.

Скажи хоть, какие номера решил

Вот мое мнение о этих задачах.

Задача 1. Из разряда стандартных. Только возникает вопрос: а как двигаются пешеход и велосипедист? Может выехали из своих пунктов и ехали себе преспокойно в одну сторону (каждый - в свою) до скончания веков, а может ездили туда-сюда между А и В??? В задаче сказано, что они ехали с постоянными скоростями . "Скорость - это вектор, он был постоянен, значит направления не менялись" - такое объяснение подошло бы, если бы задача была предложена на физике, но на математике оно пойдет???
Ваши мнения?

Задача 2. Стандартнейшая.

Задача 3. Интересная. Первое, что пришло в голову, это - брать энциклопедию и искать формулу Кардано. Но стоило составить два уравнения простой подстановкой корней, и вычесть одно из другого, как ответ стал очевиден, и осталось только проверить условие существования не менее чем двух различных корней (ну там минимумами-максимумами и проч.).

Задача 4. Для тех, кто знает теорему Пифагора и любит много писать. Если кто нашел др. решение - пишите.

Задача 5. Нашел решение, но ОЧЕНЬ трудоемкое. С помощью индукции доказывал, что при всех n выражение в левой части неравенства приводится к определенному виду из двух множителей, и проверял эти множители при каждом n, до тех пор, пока не наткнулся на нужное число.

Задача 6. Недооценил. Заметил, что рассмотрел только один частный случай только прямо перед отправкой, когда что-либо писать и исправлять не было времени

Задача 7. Красивая задача. Доказываем. Подставляем. И все становится просто.

Задача 8. Ох, как же все-таки любят господа экзаменаторы работать с числами, обозначающими года... Работаем с последним условием, рассматриваем все случаи - остается два. Дальше - предположение, индукция, и ответ готов.

Задача 9. Не знаю, может мне просто показалось, что она легкая?? Выражаем z из последних двух неравенств, составляем условие существования корня, и теперь у нас уже не система неравенств, а система уравнений.

Задача 10. САМАЯ СЛОЖНАЯ И КРАСИВАЯ. Оставлю ее обсуждение на закуску, чтобы подробно обсудить ВСЕ тонкости.

------------
А теперь - ваши мнения...

Что-то не видно энтузиазма.

сейчас нигде нет энтузиазма на мк тож не обсуждают работы... зато там обсуждается почему сайт перестал работать за час - полтара (у кого как) до 0:00!

кстати по поводу 5. сначала тож вывела ф-лу, потом надо решить нер-во и подставить 5... по-моему ничего трудоемкого... особенно что ф-ла есть в учебнике и вывод теоретически не обязателен

Видишь ли, там в эту формулу надо не просто подставить 5.



Там надо по порядку подставлять ВСЕ натуральные числа, начиная с 1, до тех пор, пока не найдется 5 выражений, которые были бы отрицательны.

А это - больше чем тридцать уравнений, или два с половиной листа А4.

Но опять же - может есть более рациональные решения. Ведь я могу ошибаться

зачем начиная с 1? очевидно ведь, что sin(1), sin(2), sin(3)>0
значит, и сумма положительная
а вот дальше надо смотреть....

кстати, за счет периодичности можно еще сократить немножко.

Да, на счет sin(1), sin(2) и т.д. я согласен.

Но ведь речь идет о сумме, и если дальше появляются большие (сравнительно) отрицательные числа, то они все остальные "затмевают".

В этой формуле можно перейти от суммы к ПРОИЗВЕДЕНИЮ, и тогда случаи для 1, 2, 3 можно не рассматривать.


Если не секрет, а какой учебник ты имеешь в виду??? А то вряд ли в обычных в учебниках для общеобразовательных школ такое есть. Я лично нашел формулу в старом-престаром задачнике по математике, который мне еще от деда достался.

если привести ф-лу к произведению и рассмотреть нер-во < 0 то есть либо первый множитель >0 а второй <0, либо наоборот. тогда для угла n/2 получаем нер-ва , рассматривая которые получается интервал в котором лежит n причем этот интервал зависит от целого числа тогда подставляя 5 получаем интервал а так как n целое то можно получить пятое в порядке возрастния n округляя пи.



Галицкий 8-9 углубленное изучение математики 1997 год нашла в школьной библиотеке

Нет, у меня не так. Формула, которую ты используешь, видимо, неправильная. Поставь задачу в Excel. Или если не веришь - посчитай в компе на калькуляторе.
sin1=0,8414709848078965066525023216303
sin2=0,90929742682568169539601986591174
sin3=0,14112000805986722210074480280811
sin4=-0,75680249530792825137263909451183
sin5=-0,95892427466313846889315440615599
sin1+sin2+sin3+sin4+sin5=0,17616164972237870388347348968233>0

Убедил???

нет!!не вместо n подставлять а вместо другой целой (пусть будет k). эту k мы находим из периода так как sin-усы будут положительны (отриц) на интервале от 2"пи"k до пи + 2"пи"k (соответственно) потом преобразуем до интервала -1+2"пи"k до 2"пи"k где к целое. подставь вместо k 5 и получишь ответ...
Убедила?

Мы, видимо, понимаем задачу по-разному. Я понимаю ее так, что нам надо из всего множества A натуральных n, при которых sin1+sin2+sin3+...+sin(n)<0 найти то, которое стоит в этом множестве на ПЯТОМ месте.

Может, у тебя какой-то кардинально отличный метод, который позволяет найти число из множества A только по его номеру в этом множестве.

Короче, ответ n=31

Я готов выставить свою формулу и ее доказательство, но при сусловии, что и ты выставишь свою. И тут уж сразу будет видно, кто неправ.

да у меня отличный метод... я запросто выставлю формулу и доказательство... в какой форме?

Да в любой. Желательно - в gif

у мя в файле все мои данные завтра сотру и разберемся, окей? хотя не оч ваще хочется светить решения пока все не отправили, так как задним числом уже 27 моих знакомых попытаются отправить!

А я заодно выставлю все свое решение (чтобы было по-честному).


Добавлено: 27.01.2007 0:51
Успела скачать?
Закрываю ссылку. (Чтоб твои 27 знакомых не скачивали)

лан, вот короче потом комментарии напиши

Спаибо. Завтра обязательно разберусь и напишу.

P.S. Я скачал. Ссылку можно удалять.

Добавлено: 27.01.2007 1:02
Уже почти разобрался. Формула у тебя та же, но доказательство другое, и используешь ты ее так же РАЦИОНАЛЬНЕЕ. Как и я, только я стал расписывать КАЖДОЕ n, а ты этого не стала делать, просто поставила "...". Вот откуда экономия места и времени.

!

Так, ребята... А не кажется ли вам, что этот "междусобойчик" пора перенести в приват? Мало того, что вы пока только вдвоем здесь переписываетесь, так еще и ссылки друг другу пересылаете, а потом удаляете? Дальнейшее поведение в таком стиле будет рассматриваться как нарушение Правил Форума (в частности, правила №9)... Устное предупреждение обоим...

Извиняюсь.
Хорошо, Volvo, обещаю завтра вечером свою ссылку я ВЫСТАВЛЮ. Но пока ее выставлять - риск, причем ОГРОМНЫЙ.
Исполняю обещание. Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Тоже извиняюсь. После закрытия почты тоже выставлю.

Ставлю на повестку СЛЕДУЮЩЕГО дня задачи №№6,10.


Добавлено: 27.01.2007 1:15
СЛЕДУЮЩЕГО

Но сначала о первой задаче.
Как же все-таки было правильно понимать условие? На форуме МК никто никаких комментариев по этому повоу не давал. Задача значительно усложняется, если принять, что велосипедист и пешеход курсируют между A и B - вроде тогда должно появиться бесконечное множество ответов. А так только два.

я думаю что в задаче нет такого глубоко смысла... просто 1 задача на внимательность к вариантам расположения "тел" между пунктами А и В либо за их предалами...

Да, кто-то даже сказал, что решить эту задачу с помощью физики гораздо легче: составить уравнения движения и работать с ними. А у тебя в ней тоже два ответа???

да тож два... я еще не встретила не одного чела, у которого было бы больше... вот меньше это да!
народ с форума мк потихоньку сверяется... по асе... да что там говорить... мы еще до отправки сверялись
некоторые даж менялись решенными задачами

А у меня в 5-ой задаче ваще 6 получилось, т.е. sin 1+sin2+sin4+sin5+sin6<0. Я проверяла, все сходится. Решала мудренным длинным способом, подставляя под синусы н-2,н-1,н. Все доказалось. А вообще, условие по-моему, весьма неоднозначное, как и в 1-ой задаче. А что у кого в 7 и 8 получилось?

n=6 - это первое подходящее число. а надо найти пятое, насколько я понимаю...
n=12 - второе
и т.д.

Может быть, ты и права...Все равно условие толком-то не сформулировано.

а по-моему уж где а в 5 точно все норма сформулировано... что может быть непонятного? там даже уточнили "в порядке возрастания"... или нужно было расписать решение прямо в условии? :-D

Ой, да ладно. Первый элемент все же найден. Я у нашей математички спрашивала об условии, так она в него вообще не вьехала А вы говорите...

не хочу расстраивать, но во-первых, оценивается правильность... во-вторых метод... по-моему этим все сказано...
хотелось бы посмотреть на эту математичку... либо она не разбирается в предмете (мож у нее дар к стереометрии!)... либо не было желания тебе помочь (конфеты, шоколадки помогли бы ;) )... либо она не оч хороший учитель (мягко говоря)... либо... просто выполнила правило проекта: НЕ обращаться к преподам, реп-ам, товарищам и т.д.

Насчет правильности - кто знает
А математичка у нас действительно не ахти какая! Даже метод математической индукции не знает (даже само понятие, я сама спрашивала, хотела удостовериться о ее мат. неграмотности и полным отсутствием осведомленности. ). Так что приходится самой во всем разбираться

конечно никто не знает что правильно... дело в том что известно что точно не правильно кстати где у тебя в идее фигурирует то что это "пятый" n?

Можно сказать так: нат числа - 1,2,3 и тд. Пусть у нас 5 слагаемых-синусов. 2 первых слагаемых уже задано. Необходимо найти еще 3, чтобы удв. условию сумма отрицательна. Чисто теоритически такая трактовка условия верна

то есть предположить, что они могут идти не по порядку?
но тогда существует бесконечное мн-во решений!
а если по порядку - то в такой трактовке пятым всегда будет одно и то же число, для нахождения которого и решать не надо

НЕТ. НЕТ. И ЕЩЕ РАЗ НЕТ.
Задание сформулировано в этой задаче ЧЕТКО.
1. Взять множество A натуральных чисел n, таких, что sin1+sin2+sin3+...+sin(n)<0.
2. Расставить в этом множестве все элементы в порядке возрастания
3. Из полученного ряда выбрать пятое число.

Конечно, не надо рассматривать все множество A, достаточно рассмотреть первые пять его элементов.

Если бы в задаче имели в виду то, что имеешь в виду ты, то задачу сформулировали бы без фразы "удовлетворяющих неравенству". т.е. задача выглядела бы следующим образом:

5. Известо, что sin1+sin2+sin3+...+sin(n) < 0. Найти минимально возможное натуральное n.

А у нас конкретное указание ("удовлетворяющих неравенству") на множество A, состоящее из таких n, при которых сумма первых n членов последовательности u(n)=sin(n) отрицательна.

Не веришь, думаешь, что указание "удовлетворяющих неравенству" слишком смутно, неясно? Посмотри сборники задач всупительных экзаменов по математике с решениями. Там чуть ли не треть задач построена на таких "непонятках". Кто правильно растолкует все тонкости, или в крайнем случае рассмотрит все возможные случаи толкования - тот правильно решит задачу. Кто-то, не помню кто, писал, что "математика - это единственный предмет, который представляет собой логику в чистом виде".

В данном случае логически более правильна (и эта правильность очевидна) трактовка 1-2-3.



У нас тоже такая была учительница в 10-м классе (хорошо, что быстро ушла, - не выдержала нас). Такое явление сейчас - не редкость, а, скорее, закономерность. И закономерность появилась не в начале девяностых - она была всегда, но особенно разрослась сейчас...

----------------------------------
С пятой задачей все окончательно понятно.
Давайте по порядку.
Вторая задача. У меня получилось два корня: "хороший" и "плохой"(логарифм с двумя квадратными корнями)
А у вас???

Ой, че то я не то написала
2 задача
2
1+(log(3-кор.из7)/2)
был еще 1 корень, но он по одз не подошел

Ты наверное хотела сказать x=2 и Нажмите для просмотра прикрепленного файла Или что-то в этом роде...(Можно по-разному записать)
Так?

у мя как у гостя получилось... кстати лог по основанию 2 не пойму как мона преобразовать чтоб одинаково с тобой , lord_wil, получилось... думать влом вторая по-моему вообще абсолютно обычная... мы такие в классе решали миллион раз

Добавлено: 27.01.2007 18:46
хотя да... все сходится...
кстати по поводу понимая условий задач... конечно каждую задачу мона понять по разному (в таком виде в котором нам дают условия) но я думаю что не настолько же!! если бы они имели ввиду пять слагаемых, то не писали бы троеточие!!! и интересно то, что пятое слагаемое в порядке возрастания должно быть синусом 5...

Ну и отлично.

Теперь третья задача .

Что-то вроде таких задач я видел в некоторых сборниках самостоятельных работ по алгебре... Но это так, к слову.
У меня получилось, что выражение равно 2007 при всех a, при которых исходное кравнение имеет не менее двух корней. Эти a лежат на отрезке... концы отрезка - противоположные числа, оба с квадратными корнями...
А у вас как???

у меня эти числа: +-2*( корень квадратный из 669 в кубе)

Ага. Иными словаим - Нажмите для просмотра прикрепленного файла. Так?
Есть еще у кого-нибудь какие-нибудь мнения???

Видимо, никаких других мнений нет. (Если у кого-то все-таки есть - пишите.)
Тогда - четвертая задача.
Много писанины. Ответ на первый вопрос - да. Ответ на второй вопрос - только в определенных случаях.
При ответе на оба вопроса я везде использовал теорему Пифагогра и доказывал существование либо несуществование положительных решений решений и т.п. Особенно много писанины было при ответе на второй вопрос.
А у вас???

3 задача
х1^2+x1*x2+x2^2=669
Решала с помощью производной
4 задача
1 нет, решала Пифагором и неравенством треугольника
2 есть или нет в завис. от условий